Chat

Índice general  CIENCIAS  ** Matemáticas **  * Derivadas *

 

Inicio Índice Vídeos S._solar Y_más_allá Física Química Mates

  Tabla
Saltar a  



Temas similares

Aplicación de máximos y mínimos. Optimización. Ventana de área máxima (2ºBTO)
Foro: * Derivadas *
Autor: Maylove
Resptas: 1
Máximos y mínimos. Punto silla. Funciones de varias variables (UNI)
Foro: * Derivadas *
Autor: Josl
Resptas: 2
Máximos y Mínimos. Continuidad. Mínimos coste. Consumo eléctrico (2ºBTO)
Foro: * Derivadas *
Autor: Ingmecanico
Resptas: 1
Calcular derivadas por definición sin uso regla cadena (2ºBTO)
Foro: * Derivadas *
Autor: Alejma
Resptas: 2
 

   { VISITS } Vistas: 9084  |  { VISITS } Favoritos: 0  |   { VISITS } Suscritos: 5      
Suscritos: Oscar, Google [Bot], Google [Bot], Google [Bot], Google [Bot]
Nuevo tema Responder al tema tema anterior Bajar tema siguiente
Autor Mensaje
Desconectado 

Mensaje 06 Nov 07, 00:16  3225 # 1



Avatar de Usuario
Asidu@ Univérsitas

______________Detalles_
Asidu@ Univérsitas 

Registro: 23 Oct 07, 17:10
Mensajes: 55
_____________Situación_

Nivel Estudios: Universitari@
País: España
Ciudad: Cantabria

______________________
Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?
          
    Responder citando    


Marcadores y compartir
    

Mensaje 06 Nov 07, 00:54  3229 # 2


Avatar de Usuario
Admin Licenciad@

______________Detalles_
Admin Licenciad@ 

Registro: 28 Oct 05, 00:18
Mensajes: 9672
Mi nombre es: Andrés Jesús
_____________Situación_

Nivel Estudios: Licenciad@
País: España
Ciudad: Marbella (Málaga)
Género: Masculino

______________________
El volumen de un cono viene dado por la función:

Ver: Cono y generatriz (thales.cica.es)

V = (1/3)·π·R²·h

La generatriz, g,  es la hipotenusa del triángulo formado cuando se corta el cono con un plano perpendicular a la base y que pasa por su vértice. Los catetos serán R y h. Se debe cumplir el T. de Pitágoras:

R² + h² = g²

Como la generatriz vale 10 cm, tenemos que:

R² + h² = g² = 100 ⇒ h = √(g²-R²)

Sustituimos en el Volumen la h en función de R para tener una sóla incognita:

V(R) = V = (1/3)·π·R²·√(g²-R²) = (1/3)·π·√(g²R4-R6)

Derivamos respecto de R:

V'(R) = (1/3)·π·(4·R³·g² - 6·R5)/(2·√(g²R4-R6)

Lo igualamos a cero para obtener los máximos y mínimos:

V'(R) = (1/3)·π·(4·R³·g² - 6·R5)/(2·√(g²R4-R6) = 0 ⇒ 4·R³·g² - 6·R5 = 0

Operando:

4·R³·g² - 6·R5 = 0

R³(4·g² - 6·R²) = 0

Las soluciones son:

R=0 (descartada) y

(4·g² - 6·R²) = 0 ⇒ 6·R² = 4·g² ⇒ R = √(2·g²/3) = g·√(2/3)

Para nuestro problema g = 10 ⇒ R = 10·√(2/3)

La altura deberá de ser:

h = √(g²-R²) = √(100 - 100·2/3) = √(100/3) = 10/√3

El volumen máximo será:

V = V = (1/3)·π·R²·h = (1/3)·π·200·10/(3√3) = 2000·π/(9·√3)

En general:

V = 2·π·g³/(9√3)

Revisar los cálculos


ImagenImagen
"Lee las NORMAS del foro. Gracias"
          
    Responder citando    
Desconectado 
    

Mensaje 07 Nov 07, 00:14  3251 # 3


Avatar de Usuario
Asidu@ Univérsitas

______________Detalles_
Asidu@ Univérsitas 

Registro: 23 Oct 07, 17:10
Mensajes: 55
_____________Situación_

Nivel Estudios: Universitari@
País: España
Ciudad: Cantabria

______________________
La única pega que tienen estos ejercicios es saber sacar la función a partir de las fórmulas de ares, volumenes y tal.

¿Sabes de alguna web que contenga dicho contenido para repasarlo?

Gracias!
          
    Responder citando    
    

Mensaje 07 Nov 07, 00:28  3252 # 4


Avatar de Usuario
Admin Licenciad@

______________Detalles_
Admin Licenciad@ 

Registro: 28 Oct 05, 00:18
Mensajes: 9672
Mi nombre es: Andrés Jesús
_____________Situación_

Nivel Estudios: Licenciad@
País: España
Ciudad: Marbella (Málaga)
Género: Masculino

______________________
La regla más o menos general para hacer estos problemas es que siempre tienes que tener una ecuación que relaciones dos magnotudes (r y h) y una función que depende de ambas magnitudes. De la ecuación se despeja una de ellas y se sustituye en la función, quedando ésta dependiente de una sola.

Citar:
Se desea hacer un gallinero utilizando tela metálica de 100 m de longitud aprovechando un muro que hay en la finca. ¿Qué dimensiones deberá tener el gallinero para que quepa el mayor número de gallinas? (Área máxima)


MURO
======================
 |             |
 | x           |
 |_________y__________|

Condición (ecuación) : 2·x + y = 100

Función área (a optimizar) = x·y

Intentar hacerlo


ImagenImagen
"Lee las NORMAS del foro. Gracias"
          
    Responder citando    
Desconectado 
    

Mensaje 07 Nov 07, 00:52  3255 # 5


Avatar de Usuario
Asidu@ Univérsitas

______________Detalles_
Asidu@ Univérsitas 

Registro: 23 Oct 07, 17:10
Mensajes: 55
_____________Situación_

Nivel Estudios: Universitari@
País: España
Ciudad: Cantabria

______________________
Un caso práctico jejeje


2x + y = 100 -> sustituyo y = 100 - 2x para luego en la función, que me quede todo en función de x

Me pide el área máxima, la funcion ha de ser

f(x) = x.y sustituyo y, multiplico yme queda algo así como :  f(x) = 100x - 2x²

f'(x) = 100 - 4x

4(25-x) = 0
4=0 ≠
x = 25

Compruebo mediante f''(x) = -4 > 0 por lo tanto máximo

sustituyo y saco y = 50
          
    Responder citando    
    

Mensaje 07 Nov 07, 01:35  3259 # 6


Avatar de Usuario
Admin Licenciad@

______________Detalles_
Admin Licenciad@ 

Registro: 28 Oct 05, 00:18
Mensajes: 9672
Mi nombre es: Andrés Jesús
_____________Situación_

Nivel Estudios: Licenciad@
País: España
Ciudad: Marbella (Málaga)
Género: Masculino

______________________
Perfecto, y además, muy claramente expresado.  :aplauso:

Una pregunta, tú para saber si es máximo o mínimo, ¿qué sustituye, en la derivada segunda?

Pues dime si es máx o mín o punto de inflexión lo que le ocurre a la función f(x)=x5 en x=0


ImagenImagen
"Lee las NORMAS del foro. Gracias"
          
    Responder citando    
Desconectado 
    

Mensaje 07 Nov 07, 01:49  3260 # 7


Avatar de Usuario
Asidu@ Univérsitas

______________Detalles_
Asidu@ Univérsitas 

Registro: 23 Oct 07, 17:10
Mensajes: 55
_____________Situación_

Nivel Estudios: Universitari@
País: España
Ciudad: Cantabria

______________________
En estos problemas, nos han dicho que lo hagamos por el método de hacer la derivada segunda en ese punto y si f''(talpunto) es < 0 hay un maximo y si f''(talpunto) es > 0 un minimo

f'(x) = 5x4

f''(x) = 20x³

en x = 0   f'(x) = 0 posible maximo o minimo

f'' (0) = 0

Yo diria que hay un punto de inflexión, aunque aun no lo hemos visto este año
          
    Responder citando    
Desconectado 
    

Mensaje 07 Nov 07, 02:00  3261 # 8


Avatar de Usuario
Asidu@ Univérsitas

______________Detalles_
Asidu@ Univérsitas 

Registro: 23 Oct 07, 17:10
Mensajes: 55
_____________Situación_

Nivel Estudios: Universitari@
País: España
Ciudad: Cantabria

______________________
Claro que lo de la derivada segunda tenemos que mirar el signo simplemente +/-
          
    Responder citando    
    

Mensaje 07 Nov 07, 03:02  3264 # 9


Avatar de Usuario
Admin Licenciad@

______________Detalles_
Admin Licenciad@ 

Registro: 28 Oct 05, 00:18
Mensajes: 9672
Mi nombre es: Andrés Jesús
_____________Situación_

Nivel Estudios: Licenciad@
País: España
Ciudad: Marbella (Málaga)
Género: Masculino

______________________
Citar:
Claro que lo de la derivada segunda tenemos que mirar el signo simplemente +/-


Esa regla dice lo siguiente:

Para comprobar que hay un máx o mín se iguala de derivada a cero y para ver de qué se trata se sustituye este valor en las derivadas sucesivas hasta encontrar una no nula.

Si la primera derivada no nula es de orden par (segunda, cuarta) es máx o mín según el signo que tenga (+ Mín, - Max)

Si es de orden impar se trata de un punto de inflexión (máx o mín pendiente)

Cuando uno va en bici y sube (creciente) y luego baja (decreciente) sabemos que ha tenido que pasar por la cumbre.

En un máx la derivada se anula y la función pasa de ser creciente (derivada +) a decreciente (derivada -). Se puede comprobar si es máx o mín simplemente comprobando cómo cambia de signo la derivada en él.


En el ejercicio que te he planteado al final te columpias y acabas afirmando que es un punto de inflexión (y aciertas). Tendrías que haber terminado:

f(x) = x5
f' = 5·x4 = 0 ⇒ x = 0
f''(0) = 0 hay que seguir hasta que no sea cero:
f'''(0) =0
fIV(0) =0
fV(0) = 120

Como es impar (quinta derivada) se trata de un punto de inflexión.

Es más fácil comprobar que la primera derivada (5·x4) antes del x=0 (para los negativos) es positiva y después no cambia de signo, luego es un punto de inflexión (anuló a la segunda serivada)

Si lo hacemos con f(x) = x4

f' = 4·x3 = 0 ⇒ x=0
f''(0) = 0
f'''(0)=0
fIV(0) = 24 > 0 (orden par y +, se trata de un mínimo)

Se puede comprobar que antes del cero la primera derivada (4·x3) era - (decrecía la función) y después del cero es + (crecía la función). Se trata, por tanto, de un mínimo.

Bajo y luego subo ⇒ he estado en el fondo de un valle con pendiente cero.

Mira la parte de máx y mín de este tema y compara la función con su derivada:

Representación de un polinomio


ImagenImagen
"Lee las NORMAS del foro. Gracias"
          
       


Marcadores y compartir
   
 
Nuevo tema Responder al tema tema anterior Subir tema siguiente


Mens. previos:  Ordenar por  
Saltar a  

¿Quién está conectado?

Viendo este Foro: 0 registrados y 3 invitados



No puede abrir nuevos temas
No puede responder a temas
No puede editar sus mensajes
No puede borrar sus mensajes
No puede enviar adjuntos


Arriba