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Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

El volumen de un cono viene dado por la función:

Ver: Cono y generatriz (thales.cica.es)

V = (1/3)·π·R²·h

La generatriz, g,  es la hipotenusa del triángulo formado cuando se corta el cono con un plano perpendicular a la base y que pasa por su vértice. Los catetos serán R y h. Se debe cumplir el T. de Pitágoras:

R² + h² = g²

Como la generatriz vale 10 cm, tenemos que:

R² + h² = g² = 100 ⇒ h = √(g²-R²)

Sustituimos en el Volumen la h en función de R para tener una sóla incognita:

V(R) = V = (1/3)·π·R²·√(g²-R²) = (1/3)·π·√(g²R⁴-R⁶)

Derivamos respecto de R:

V'(R) = (1/3)·π·(4·R³·g² - 6·R⁵)/(2·√(g²R⁴-R⁶)

Lo igualamos a cero para obtener los máximos y mínimos:

V'(R) = (1/3)·π·(4·R³·g² - 6·R⁵)/(2·√(g²R⁴-R⁶) = 0 ⇒ 4·R³·g² - 6·R⁵ = 0

Operando:

4·R³·g² - 6·R⁵ = 0

R³(4·g² - 6·R²) = 0

Las soluciones son:

R=0 (descartada) y

(4·g² - 6·R²) = 0 ⇒ 6·R² = 4·g² ⇒ R = √(2·g²/3) = g·√(2/3)

Para nuestro problema g = 10 ⇒ R = 10·√(2/3)

La altura deberá de ser:

h = √(g²-R²) = √(100 - 100·2/3) = √(100/3) = 10/√3

El volumen máximo será:

V = V = (1/3)·π·R²·h = (1/3)·π·200·10/(3√3) = 2000·π/(9·√3)

En general:

V = 2·π·g³/(9√3)

Revisar los cálculos

La única pega que tienen estos ejercicios es saber sacar la función a partir de las fórmulas de ares, volumenes y tal.

¿Sabes de alguna web que contenga dicho contenido para repasarlo?

Gracias!

La regla más o menos general para hacer estos problemas es que siempre tienes que tener una ecuación que relaciones dos magnotudes (r y h) y una función que depende de ambas magnitudes. De la ecuación se despeja una de ellas y se sustituye en la función, quedando ésta dependiente de una sola.



MURO
======================
　| 　　　　　　　　　　　　|
　|　x　　　　　　　　　　　|
　|_________y__________|

Condición (ecuación) : 2·x + y = 100

Función área (a optimizar) = x·y

Intentar hacerlo

Un caso práctico jejeje


2x + y = 100 -> sustituyo y = 100 - 2x para luego en la función, que me quede todo en función de x

Me pide el área máxima, la funcion ha de ser

f(x) = x.y sustituyo y, multiplico yme queda algo así como :  f(x) = 100x - 2x²

f'(x) = 100 - 4x

4(25-x) = 0
4=0 ≠
x = 25

Compruebo mediante f''(x) = -4 > 0 por lo tanto máximo

sustituyo y saco y = 50

Perfecto, y además, muy claramente expresado.  

Una pregunta, tú para saber si es máximo o mínimo, ¿qué sustituye, en la derivada segunda?

Pues dime si es máx o mín o punto de inflexión lo que le ocurre a la función f(x)=x⁵ en x=0

En estos problemas, nos han dicho que lo hagamos por el método de hacer la derivada segunda en ese punto y si f''(talpunto) es < 0 hay un maximo y si f''(talpunto) es > 0 un minimo

f'(x) = 5x⁴

f''(x) = 20x³

en x = 0   f'(x) = 0 posible maximo o minimo

f'' (0) = 0

Yo diria que hay un punto de inflexión, aunque aun no lo hemos visto este año

Claro que lo de la derivada segunda tenemos que mirar el signo simplemente +/-

Esa regla dice lo siguiente:

Para comprobar que hay un máx o mín se iguala de derivada a cero y para ver de qué se trata se sustituye este valor en las derivadas sucesivas hasta encontrar una no nula.

Si la primera derivada no nula es de orden par (segunda, cuarta) es máx o mín según el signo que tenga (+ Mín, - Max)

Si es de orden impar se trata de un punto de inflexión (máx o mín pendiente)

Cuando uno va en bici y sube (creciente) y luego baja (decreciente) sabemos que ha tenido que pasar por la cumbre.

En un máx la derivada se anula y la función pasa de ser creciente (derivada +) a decreciente (derivada -). Se puede comprobar si es máx o mín simplemente comprobando cómo cambia de signo la derivada en él.


En el ejercicio que te he planteado al final te columpias y acabas afirmando que es un punto de inflexión (y aciertas). Tendrías que haber terminado:

f(x) = x⁵
f' = 5·x⁴ = 0 ⇒ x = 0
f''(0) = 0 hay que seguir hasta que no sea cero:
f'''(0) =0
f^IV(0) =0
f^V(0) = 120

Como es impar (quinta derivada) se trata de un punto de inflexión.

Es más fácil comprobar que la primera derivada (5·x⁴) antes del x=0 (para los negativos) es positiva y después no cambia de signo, luego es un punto de inflexión (anuló a la segunda serivada)

Si lo hacemos con f(x) = x⁴

f' = 4·x³ = 0 ⇒ x=0
f''(0) = 0
f'''(0)=0
f^IV(0) = 24 > 0 (orden par y +, se trata de un mínimo)

Se puede comprobar que antes del cero la primera derivada (4·x³) era - (decrecía la función) y después del cero es + (crecía la función). Se trata, por tanto, de un mínimo.

Bajo y luego subo ⇒ he estado en el fondo de un valle con pendiente cero.

Mira la parte de máx y mín de este tema y compara la función con su derivada:

Representación de un polinomio