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Hay un cuerpo de masa M encima de una colina esférica con rozamiento y se deja caer, hallar el punto P en donde el cuerpo ya no esta en contacto con la esfera.



Aunque el planteamiento debe ser parecido al ya tratado en el caso  anterior sin rozamiento no logro sacarlo . A ver si me podeis ayudar.

Hola,

Copio del tema anterior (comentado y lo rectifico):

La velocidad que tendrá en P se calcula por energía.

El aumento de energía cinética será la disminución de energía potencial menos el trabajo de rozamiento:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr

W = ∫Fr·dr = ∫μ·N·dr = **

Arco = ángulo·radio = β·R    =>   dr = R·dβ           (N = P·sen β = Py)

** = ∫μ·N·dr = ∫μ·P·sen β·R·dβ =  -μ·P·R·cos β

Esta integral hay que hacerla bajo los límites de integración: de π/2 a β (que es cuando deja el plano)
                        _β
W = -[μ·P·R·cos β]  = -μ·P·R·cos β
                        ^π/2

Luego, volviendo al principio de conservación inicial:

½MV² = M·g·R - M·g·R·sen β - Wfr = M·g·R - M·g·R·sen β - μ·P·R·cos β = M·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

V² = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)

Por otro lado aplicando dinámica, tenemos que :

∑F_N = P·sen β - N = M·a = M·V²/R　;　La N = 0 cuando deja de tocar la esfera.

Dividiendo por M:

g·sen β = V²/R

g·sen β = 2·g·R·(1 - sen β - μ·cos β)/R = 2·g·(1-sen β - μ·cos β)

sen β = 2·(1-sen β - μ·cos β) = 2 -2·sen β - 2·μ·cos β

3·sen β + 2·μ·cos β = 2         (Resolviendo esta Ec. trigonométrica)

3·sen β + 2·μ·√(1 - sen² β) = 2

2·μ·√(1 - sen² β) = 2 - 3·sen β   elevando al cuadrado:

4·μ²·(1 - sen² β) = 4 + 9·sen² β - 12·sen β

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4 - 4·μ² = 0

(9 + 4·μ²)·sen² β - 12·sen β + 4·(1 - μ²) = 0

            12 ± √144-16·(1 - μ²)(9 + 4·μ²)
sen β = ---------------------------------- =           (operando)
                      2·(9 + 4·μ²)

    6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²)
= ------------------------  (seguramente la solución física será tomando +)
          9 + 4·μ²

de donde la altura será:

h = R·sen β

que como se puede comprobar da el mismo resultado del otro problema si hacemos μ = 0, es decir,

sen β = 2/3     y    h = 2R/3

Gracias Galilei me ha quedado claro el fallo lo cometía en el planteamiento de  la integral    ∫ Fr dr pero lo que no me queda claro es lo que comentas de que sólo se tmga en cuenta la solución positiva, ya que:
μ es siempre menor que 1 por lo que,
2·μ·√(5 + 4·μ²) < 6   entonces   6 ± 2·μ·√(5 + 4·μ²) > 0 siendo las dos soluciones siempre  positivas y no una de cada signo . ¿qué opinas?