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Encontrar el punto del plano (x+2y-z-5=0) mas proximo del punto P(3,4,0) y la distancia de "P" al plano. Muchas gracias

Hola.

Un vector normal al plano es el n = (1,2,-1) que son los coeficientes de x,y,z.

Buscamos la recta perpendicular al plano que pase por P. Para ello necesitamos un vector de ella (el n) y un punto (el dado). En paramétrica la recta es:

x = 3 + t
y = 4 + 2t
z = 0 - t

Ahora buscamos donde se cortan la recta y el plano, para ello resolvemos el sistema:

Sustituimos la x y z de la recta en el plano:

3 + t + 2(4 + 2t) - (-t) = 5    =>   6t = -6     =>    t = -1

El punto común es el:

x = 3 - 1 = 2
y = 4 - 2 = 2
z = 1

A (2,2,1)

La distancia entre ambos puntos es el módulo del vector diferencia:

AP = OP - OA

d = |AP| = √(3 - 2)² + (4 - 2)² + (0 - 1)² = √6