Foros Ciencias Galilei

1/(x³ + 1)

Factorizando por Ruffini:

(x³ + 1) = (x+1)·(x² - x + 1)

1/(x³ + 1) = A/(x + 1) + (Mx+N)/(x² - x + 1)

1 = A·(x² - x + 1) + (Mx+N)·(x + 1)

Si x = -1, tenemos que A = 1/3
Si x = 0, tenemos que 2/3 =  N
Si x= 1, tenemos que 1 = 1 + (M+1)·2 => M = -1/3

∫1/(x³ + 1) dx= ∫(1/3)/(x + 1) dx + (1/3)∫(-x+2)/(x² - x + 1) dx =

(1/3)∫1/(x + 1) dx + (1/3)∫(-x+2)/(x² - x + 1) dx  (**)

(1/3)∫1/(x + 1) dx =(1/3)·Ln (x + 1)

La segunda integral conviene ponerla con el denominador en forma (x - α)² + β² siendo α la parte real y β la imaginaria:

x² - x + 1 = 0

[1 ± √(1-4)]/2 => α = 1/2 y β = √3/2

Luego: x² - x + 1 = (x - ½)² + 3/4

(**) -(1/3)∫(x-2)/(x² - x + 1) dx =

-(1/6)∫(2x-4)/(x² - x + 1) dx =

-(1/6)∫(2x-1-3)/(x² - x + 1) dx = -(1/6)∫(2x-1)/(x² - x + 1) dx + (1/6)∫3/(x² - x + 1) dx =

-(1/6)·Ln(x² - x + 1) + (1/6)∫3/(x² - x + 1) dx

Nos queda la integral: (1/6)∫3/(x² - x + 1) dx = (1/2)∫1/(x² - x + 1) dx =

(1/2)·∫1/(x² - x + 1) dx = (1/2)·∫1/[(x - ½)² + 3/4] dx = (1/2)·∫(4/3)/[(4/3)(x - ½)² + 1] =

(2/3)·∫(1/[[(2/√3)(x - ½)]² + 1] = (2/3)(√3/2)∫(2/√3) /[[(2/√3)(x - ½)]² + 1] =

(1/√3)∫(2/√3) /[[(2/√3)(x - ½)]² + 1] = (1/√3) arctg [(2/√3)(x - ½)] =

(1/√3) arctg [(2x/√3 - 1/√3)] = (1/√3) arctg (2x - 1)/√3


Seguramente habré cometido algún error pero ten en cuenta que la solución que propone el solucionario está operada, es decir:

(1/3)·Ln (x + 1) - (1/6)·Ln(x² - x + 1) (las dos primeras soluciones, las escribe como) =

(2/6)·Ln (x + 1) - (1/6)·Ln(x² - x + 1) = (1/6)·Ln (x + 1)² - (1/6)·Ln(x² - x + 1) =

(1/6) Ln (x + 1)²/(x² - x + 1) (por aplicación de las propiedades logarítmicas)

Nota: en la solución sale en el nunerador (x-1)² y debe se (x+1)²

Es difílcil explicar esto por aquí paso a paso. Si lo imprimes y lo estudias con detenimiento, quizás lo veas.

69)

∫(8x + 6) / (4x² + 4x + 5) =

∫(8x + 4 + 2) / (4x² + 4x + 5) =

∫(8x + 4) / (4x² + 4x + 5) +∫ 2 / (4x² + 4x + 5) =

Ln (4x² + 4x + 5) + ∫ 2 / (4x² + 4x + 5)


∫ 2 / (4x² + 4x + 5) = (1/2)∫1/(x² + x + 5/4) (**)

(x² + x + 5/4) = 0

[-1 ±√1-5]/2 = [-1 ±√-4]/2

α = -1/2 y β = 1

(x² + x + 5/4) = (x + ½)² + 1

(**) (1/2)∫1/(x² + x + 5/4) = (1/2) ∫1/[(x + ½)² + 1] = (1/2) arctg (x+½)

Solución:

Ln (4x² + 4x + 5)  +  (1/2) arctg (x+½) + K