Foros Ciencias Galilei

Saludos amigos del Foro de Ciencias Galilei, les escribe Mario Rodríguez, en esta ocasión les voy a plantear unos  PROBLEMAS DE DEMOSTRACIÓN SOBRE PARÁBOLA.

Se tienes dos parábolas de focos F1 y F2 (Cuyo Foco de una parábola es el vértice de la otra parábola) Demostrar que el segmento que une los puntos comunes a dichas parábolas es perpendicular al eje focal y además dicho eje focal corta al segmento en su punto medio.

Del problema anterior demostrar que el segmento que une los puntos comunes a dichas parábolas es porción de recta mediatriz del segmento F1F2

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Se tienen 2 parábolas de tal manera que el foco de una de ellas es el vértice de la otra y viceversa. Calcule la medida del ángulo entre dichas parábolas.


Sin más que decirles me despido, agradeciéndoles de antemano su ayuda.

                                                                                Atentamente: Mario Rodríguez

La primera parábola es y = x² cuyo foco es el punto (0,1/4) y por él pasa una segunda parábola y = √x + 1 que tiene su foco en la recta y = 1/4. No veo que el eje focal (linea que une ambos focos ¿no?) sea perpendicular al segmento de los puntos comunes a ambas parábolas. ¿Dónde está mi error?

Gracias por la ayuda, pero en el problema yo llegué a graficar una parábola que se "abre" hacia arriba y el otro que se "abre" hacia abajo y en ese caso se debe verificar que el eje focal  es perpendicular al segmento que une los puntos comunes a las parábolas y además dicho eje focal lo corta en su punto medio....Tambien debe verificarse que el segmento que une los puntos comunes de las parábolas es porción de recta mediatriz de F1F2.

La hipótesis no habla de ninguna otra condición, simplemente que el vértice de una está en el foco de la otra, sin más, por lo tanto esa afirmación es falsa.

Otra cosa distinta es el otro problema que sí dice que... :


En este caso si será cierto.

Gracias por la aclaración, tiene razón así como está propuesta la afirmación sería falsa, en el problema falta especificar que en las parábolas: "el Foco de una de ellas el el vertice de la otra y VICEVERSA" Ahora haciendo esta aclaración me gustaría ver la demostración de esa propiedad

Sin más que decirle me despido, agradeciéndole de antemano su ayuda.

                                                                              Atentamente: Mario Rodríguez

Pero es que no sé como quieres las parábolas. ¿En forma canónica y²=2px?. Porque sospecho que en la forma general (rotadas) debe ser bastante plasta la demos?

¿Sabes como empezar?. Plantea más a menos lo que quieres, luego, si puedo y sé, lo sigo...

Creo que la demostración sería para el caso en el que UNA PARÁBOLA SE ABRE HACIA ARRIBA Y LA OTRA HACIA ABAJO y en el que el VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA ES EL FOCO DE LA OTRA Y VICEVERSA, creo que de la forma canónica es el caso más adecuado.....

La ec. de la parábola en forma canónica con centro en (0,0), foco en (0,p/2) y directriz y = -p/2 es:

x² = 2py

La ec. de la parábola en forma canónica con centro en (0,p/2), foco en (0,½(p+k)) y directriz y = -½(p+k) es:

x² = 2(p+k)(y - p/2)

Esta parábola tiene el vertice en el foco de la otra y su foco está k/2 u por encima de la anterior.

Veamos dónde se cortan ambas:

2py = 2(p+k)(y - p/2)

2py = 2py + 2ky - p(p+k)

2ky = p(p+k) => y = p(p+k)/2k

Luego x = ± √(p(p+k)/2k)

Los puntos de corte son: (√(p(p+k)/2k) , p(p+k)/2k) y (-√(p(p+k)/2k) , p(p+k)/2k)

Un vector que va de uno a otro punto tendrá la forma (2√(p(p+k)/2k) , 0)

Un vector que vaya de un foco al otro tendrá la forma (0, k/2)

Como se ve su producto escalar es cero luego son perpendiculares, que es lo que se quería demostrar.