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Hola, me piden demostrar que cuando (x,y)→0, f(x,y)→0, siendo:

f(x,y)= x sen(1/y), si y≠0  ; 0 si y=0  (es una funcion por tramos)


Es correcto proeder asi?:

Para hallar lim _{(x,y)→(0,0)} f(x,y)= lim_x→0 (lim_y→0 f(x,y))

Entonces queda: lim_x→0 (lim_y→0 f(x,y))=lim_x→0 f(x,0).

Como la funcion cuando y=0, es 0, entonces:

lim_x→0 (0)=0

Ahora, si cambiamos por:

lim_y→0 (lim_x→0 f(x,y))

=lim_y→0 (lim_x→0 xsen(1/y))

=lim_y→0 (0)=0

Y como
lim_y→0 (lim_x→0 f(x,y))=lim_x→0 (lim_y→0 f(x,y))=0

Entonces lim _{(x,y)→(0,0)} f(x,y)=0

No es correcto ya que cuando y->0 (y≠0) y f(x,y→0) = x·sen 1/(→0) = x·sen ∞

sen ∞ digamos que no está definido y no sabemos lo que vale. Es decir no existe el Lim sen 1/y cuando y→0

Pero si tienes x→0 y te queda x·sen 1/y, entones el límite es cero pero porque 'sen x' es una función acotada (-1≤ sen x≤1).

Es decir x·sen 1/x cuando x tiende a cero es cero por ser el seno una función acotada y cero por acotada es cero. Sin embargo sen 1/x (con x→0) no tiene límite.

No sé si me he explicado bien.

Lo que quieres decir es que no puedo usar la condicion de que cuando y→0, f(x,y)=0 (por la segunda condiion de la función) ya que esta es sólo estrictamente para y=0?..entonces. cómo demuestro que el limite es cero?..Gracias¡¡