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El radio de una esfera es r(t) = t² + 2t + 1. Determina la razón de cambio del volumen respecto del tiempo en el instante t = 1 s, t = 2 s.

Hola Brittany, bienveni@ al foro.

La razón de cambio de una variable respecto de otra me lo da la derivada.

El vulomen de una esfera viene dado por:

V(r) = (4/3)·π·r³

Ahora podemos hacer dos cosas: sustituir el radio en función de t es esta fórmula y derivar respecto del tiempo o aplicar la regla de la cadena:

Siendo r(t) = t² + 2t + 1 = (t + 1)² => dr/dt = 2·(t + 1)

dV/dt = (dV/dr)·(dr/dt) = 4·π·r²·2·(t + 1) = 8·π·r²·(t + 1) =

= 8·π·(t + 1)⁴·(t + 1) = 8·π·(t + 1)⁵

Ahora sólo queda sustituir 'r' por los valores de 't' pedidos (1 y 2)

hola de nevo, gracias.

Pero no me queda muy claro, aún no veo regla de la cadena, y en la clase pasada, en la escuela, estabamos viendo derivadas y una chica derivó de la forma en que tú lo haces, y no entendimos cómo es que lo hizo, el profesor nos dijo que él aún no nos enseña esa notación (dr/dt), es por eso que aún no lo entiendo.
me lo podrías explicar de otra forma? por favor?
Gracias!

Esta es la notación usual. Cuando escribes y' es una simplificación de dy/dx. Cuando hay más de una variable, como es el caso, no podemos utilizar lo de la prima para indicar derivada porque no sabríamos con respecto a qué variable lo hacemos.

La derivada da el ritmos de cambio de una función y=f(x) con respecto a su variable.

Si cambiamos el valor de la 'x' cambia el valor de la 'y'. Supongamos que incrementamos el valor de la x en ∆x, entonces en y se producirá un incremento, ∆y

Un ejemplo, el volumen y la superficie de una esfera depende del radio. Si aumentamos éste, aumentará el volumen y la superficie pero ¿cuánto?. Observa que si aumentamos el radio al doble, la superficie aumenta cuatro veces (r²) y el volumen ocho (r³). Lo que nos importa en realidad es el cociente entre los aumentos de ambas variables:

∆V
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∆r

Este cociente nos daría el cambio medio del volumen con respecto al radio.

En física ∆x/∆t nos daría la velocidad media, ∆V/∆t, la aceleración media, etc

Cuando esa razón (∆y/∆x) se calcula para un cambio en ∆x muy, muy pequeño, entonces se convierte en una derivada.

Lim (∆y/∆x) = dy/dx = y'
∆x→0

Regla de la cadena:

Supón que tenemos una variable que depende de otra y=y(s) (Y depende de 's'). Ésta a su vez depende de otra, s=s(u) y ésta a su vez depende de otra, u=u(x). Si producimos un cambio infinitesimal en x ¿qué cambio se producirá en y?

(∆y/∆x) = (∆y/∆s)(∆s/∆u)(∆u/∆x)

Cuando los cambio en ∆x → 0, se convierten en derivadas, las ∆ se convierten en 'd' (por definición de derivada):

(dy/dx) = (dy/ds)(ds/du)(du/dx) = (dy/ds)(ds/du)·u'

Las dos letras ∆ y 'd' son las mismas en distintos alfabetos. Indican cambio. La primera sin restricciones, la segunda es la razón del cambio cuando la variable independiente tiende a cero. Es evidente por qué se llama regla de la cadena...

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El problema que planteas se puede hacer sin aplicar la regla de la cadena (pero eso no es lo que pretende el problema) sin más que sustituir del valor de r(t) en el Volumen:

r(t) = t² + 2t + 1 = (t + 1)²

V = (4/3)·π·r³ = (4/3)·π·(t + 1)⁶

Derivamos respecto de r:

V' = dV/dt = (4/3)·π·3·6·(t + 1)⁵ = 8·π·(t + 1)⁵ (aquí estamos aplicando la regla de la cadena al derivar un paréntesis elevado a la n)

En el primer mensaje salió: 8·π·r²·(t + 1) = 8·π·(t + 1)⁴·(t + 1) = 8·π·(t + 1)⁵