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Hola, he estado repasando la teoria de Series de Potencias y me ha surgido una duda:

Se sabe que:

e^x = ∑ xⁿ/n!
　　ⁿ⁼⁰

el problema surge cuando quieron encontrar la integral y la derivada de esta serie, que da:

∫e^xdx = ∑ ∫xⁿ/n!dx = ∑ xⁿ⁺¹/(n+1)n!
　　　 ^{n=0　　　　　 n=0}

d/dx(e^x) = ∑ d/dx(xⁿ/n!) = ∑ nx^n-1/n!
　　　　　 ^{n=0　　　　　　 n=0}

Como se ve, estas dos series no convergen a e^x, lo cual contradice la teoria del calculo diferencial e integral, en donde la derivada y la integral de esta funcion es ella misma, asi que pregunto: qué es lo que pasa??..me gustaria que me dijeran si estoy aplicando mal los metodos o algo, o simplemente la respuest a esta cuasteion...muchas gracias...

Ya resolvi la parte de la derivada....solo era considerar que  n/n!=1/(n-1)!, ademas que la suma empieza en n=1....pero la integral me ha sacado canas verdes¡¡----

Y ya resolví la integral:

Si integramos término término la serie, esta queda:

∑ xⁿ⁺¹/(n+1)n! = ∑ xⁿ⁺¹/(n+1)! ...
^{n=0　　　　　　n=0}

Entonces si hago k=n+1, me queda la misma serie que la exponencial pero en terminos de k¡¡