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Un tanque cónico de 3 metros de altura y 2 metros de diámetro en la tapa se llena con agua a razón constante. Al encontrar el nivel a media altura, la razón de cambio de ésta altura es de 30cm/min. ¿Cuánto tardaría en llenarse el tanque?


Cómo me cuestan éstos problemas

-GrazZiazZ!-

El objetivo es conocer el caudal del surtidor, C.

En la figura, la función f(x) es, en este caso, (R/h)·x = (1/3)·x

V = π·∫f(x)²·dx

dV =  π·f(x)² dx = π·(1/3)²·x²·dx = (π/9)·x²·dx

Por otro lado, el caudal, C, es V/t => V = C·t => dV/dt = C (la rapidez con que el volumen cambia se llama caudal y se mide en m³/s o cualquier otra unidad de V/t)

Regla de la cadena de derivación:

Conocemos la rapidez de cambio del volumen respecto de x pero no respecto al tiempo:

dV/dt = C = (dV/dx)·(dx/dt)

La (dx/dt) es la rapidez con que cambia el nivel del agua mientras se llena el depósito cónico y la dV/dx = (π/9)·x². Despejando:

dx/dt = C / (dV/x) = 9·C/(π·x²)

El enunciado dice que cuando está a media altura ( x=1,5 m) la razón de cambio de la altura (dx/dt) es de 30 cm/min (0,005 m/s). Sustituyendo, sacamos el caudal, C.

C = (dx/dt)·π·x²/9 = 0,005·π·1,5²/9 = 0,004 m³/s (4 L/s)

Ahora ya lo tenemos porque si V = C·t => t = V/C = π·R²·h/(3·C)

Volumen y caudal son ya conocidos. Revisa cálculos.




Aquí es donde se ve la utilidad del cálculo diferencial. A mi me gustan.  

Llevo 2 mesez tomando la materia de "Cálculo diferencial e integral I", dezpuéz de haber tenido muy malos cursos de Mtemáticas III y IV, apenaz empiezo a entender algunaz cosas, me guztaría mucho poder resolver los problemas cómo tú lo hazez