Foros Ciencias Galilei

:D Hola amigos del Foro de Ciencias Galilei, les escribe Mario Rodríguez, en esta ocasión quisiera preguntarles sobre una DUDA QUE TENGO ACERCA DEL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES O EL EMPUJE HIDROSTÁTICO EN RECIPIENTES ACELERADOS.

Para exponer en forma clara en qué radica mi duda les plantearé un problema y expondré el intento de solución (intento fallido por cierto) pero que les servirá para ver en donde podría estar mi error.
El enunciado del problema es el siguiente:

Un recipiente contiene un líquido cuya densidad es ρ₁ = 900 Kg/m³. Si un bloque esta sumergido en su tercera parte, determine la densidad del bloque. Considere que el recipiente se encuentra en el interior de un ascensor que se eleva con aceleración constante a = 5 m/s². (g = 10 m/s²)

Intente resolver el problema ubicando un observador dentro del ascensor (observador no inercial) y haciendo el diagrama de cuerpo libre del cuerpo dibuje las fuerzas: La fuerza de gravedad (mg) vertical hacia  abajo, luego el Empuje (E) hacia arriba y finalmente LA FUERZA DE INERCIA o fuerza ficticia verticalmente hacia abajo (tengo entendido que su dirección se opone a la aceleración del sistema y su módulo es FI = ma) y como para el observador no inercial el bloque se encuentra en Equilibrio plantee la siguiente ecuación:

  E = mg + ma   Luego teniendo en cuenta que E = ρ₁gVs;  Vs = V/3 (Dato) y m = ρ₂V (ρ₂ = densidad del bloque) Luego reemplazando:

 ρ₁gVs = ρ₂Vg + ρ₂Va   →    900×10×(V/3) = ρ₂×V×10 + ρ₂×V×5  → 3000 = 15ρ₂ → ρ₂ = 200 Kg/m³ este fue mi resultado pero no hay clave de respuestas pues la respuesta correcta debería ser ρ₂ = 300 Kg/m³

También analice el problema con un observador desde fuera del ascensor, obviamente que para este observador el bloque junto con el recipiente aceleran y supuse que como el bloque no se mueve respecto del recipiente entonces el bloque tiene la misma aceleración que el ascensor y aplique la segunda ley de Newton:

         Fr = ma → E - mg = ma y llego a la misma respuesta.

Conversando con un amigo sobre este problema, él me dijo que el error radica en que debo considerar la gravedad efectiva en un sistema no inercial,  pero lo que no entiendo es que ese método es en esencia el mismo criterio que el de la Fuerza de Inercia pues aplicando EL CRITERIO DE LA FUERZA FICTICIA llego a la ecuación E = mg + ma  →  E = m(g+a) donde gef = (g+a) (En módulo) por lo que se supone debería llegar a la misma respuesta que mi amigo. Otro detalle que me tiene intrigado es la cuestión de que averiguando sobre el EMPUJE EN SISTEMAS NO INERCIALES en algunos textos de Física Pre_universitarios noté que en la fórmula del Empuje depende de la gravedad efectiva o sea que: E = ρ₁×gef×Vs (El libro no lo demuestra por lo que les estaría muy agradecido si me proporcionan la demostración) También quisiera saber en que parte de mi planteamiento está el error y por último sería interesante resolver el problema correctamente DESDE UN OBSERVADOR UBICADO FUERA DEL ASCENSOR.

Sin más que decirles me despido, agradeciéndoles de antemano su ayuda.


                                                                                       Atentamente: Mario Rodríguez

Muy interesante el problema que planteas. Podemos verlo desde varios puntos de vista.

El primero y que es el que más me gusta por su sencillez es el principio de equivalencia. Lo que ocurre en un ascensor que acelera es lo mismo que situarlo en una gravedad equivalente pero inercial. En este caso, nos saldría que el bloque pesa 300 kg/m³ ya que su parte sumergida es 1/3 de su volumen y 1/3 de la densidad del líquido es esa cantidad.

V' _{(parte sumergida cuerpo)} = (ρ₂/ρ₁)·V (sistema inercial)

ρ₂ densidad cuerpo
ρ₁ densidad fluido

Lo que ocurre es que esas fuerzas de inercias de las que haces uso también actúan sobre el líquido haciendo, que al acelerar, éste pese más y por tanto cuesta más desplazarlo a la hora de sumergir el bloque. Ten en cuenta que el principio de Arquímedes se basa en la diferencia de presión a diferentes profundidades debido al peso del fluido. Si no hubiera gravedad, en el fondo de una piscina, no habría presión y, por tanto, no hay empuje si intentas meter un objeto en ella. El empuje no lo produce la masa del fluido sino el peso de éste.

Conclusión: Si sumerges un objeto en un fluido y lo aceleras no cambia la proporción de la parte sumergida debido a la doble influencia de esta aceleración tanto sobre el fluido como sobre el cuerpo.

Gracias por aclararme la duda que tenía pero todavía hay cuestiones que me tienen intrigado por ejenplo ¿Cómo podría resolver este problema con un observador ubicado fuera del ascensor? (En la solución sería bueno incluir gráficos para poder apreciar lo que acontece físicamente) y si no fuera mucho pedir me gustaría que me proporcionaran una demostración matemática que muestre la ligazón entre el EMPUJE y la GRAVEDAD EFECTIVA es decir: E = ρ₁×gef×Vs

Sin más que decirle me despido agradeciendo de antemano su respuesta.

                                                                                       Atentamente: Mario Rodríguez

La demostración no es muy complicada. Es igual que cuando está en un sistema inercial pero con más gravedad (g + a).

Un bloque que se sumerge sólo 1/3 de su volumen es porque tiene una densidad 1/3 de la del fluido donde se ha sumergido. El fluido que entraría (que desplaza) en ese 1/3 de V pesaría lo mismo que el bloque entero, luego eso quiere decir que ese fluido es el triple de denso. Hay varios problemas resueltos sobre esta cuestión en el foro, como el del iceberg, etc.

Cuando nos introducimos en un ascensor que acelera, sobre nosotros actúan dos fuerzas: la Normal y el peso y se relacionan del modo siguiente:

N - P = M·a (la normal es el peso aparente)

N = P + M·a = M·g + M·a = M·(g+a) = M·g'

Es como si dentro del ascensor hubiese una gravedad g+a. Esta gravedad influye tanto en el fluido como en el cuerpo que flota:

E = ρ'·g'·Vs

donde ρ' es la densidad del líquido, g' la aceleración de la gravedad, Vs es el volumen sumergido del cuerpo (de densidad ρ y volumen V).

Estará en equilibrio cuando:

ρ'·g'·Vs = ρ·g'·V

ahora ponemos en g' la aceleración gravitatoria aparente que hay en la cabina del ascensor y vemos que se anulan una con otra (las g' se simplifican).

Esto quiere decir que si un cubo está sumergido 1/3 de su volumen en la Tierra, estará lo mismo en la Luna y dentro de un ascensor que acelere o desacelere (salgo en caída libre).

Lo que importa para ver qué parte se sumerge no es el peso de los cuerpos sino sus densidades y éstas no cambian en un ascensor acelerando.

ρ'·Vs = ρ·V

Vs/V = 1/3 = ρ/ρ'


Lo que no sé es porqué es más demostración una matemática que otra basada en principios físicos.  

En cuanto a hacer los problemas desde sistemas no inerciales no es aconsejable. Las Leyes de Newton no son aplicables en estos sistemas. Para que salga la solución hay que recurrir a unos 'trucos' como contabilizar unas fuerzas llamadas de inercia (fuerza centrífuga, por ejemplo) y éstas no son reales. Lleva a confusión.

Decirle a un chaval que empieza a estudiar física que cuando un coche frena su cuerpo se va hacia delante por culpa de la fuerza de inercia es engañarlo. Si estoy sentado en una silla con ruedas, distraído, y alguien me da un tirón hacia atrás, aparentemente mi cuerpo se desplaza hacia delante pero es sólo aparentemente. Lo que ocurre es que mi cuerpo intenta quedarse donde estaba y es la silla la que se mueve hacia atrás.

Lo mismo ocurre en el coche cuando frena. Mi cuerpo intenta seguir hacia delante a la velocidad a la que iba pero si alguien me coge por el culo y tira hacia atrás (el asiento por rozamiento) parecerá que me empujaron hacia delante pero es falso. Las fuerzas de inercia no existen y confunden bastante.

Cuando tomamos una curva parece que el cuerpo se va para la puerta exterior por culpa de la fuerza centrífuga (dicen los profesores de autoescuelas) pero eso es falso, lo que ocurre es que es el coche el que se va hacia dentro de la curva y mi cuerpo intenta seguir por la trayectoria que tenía (esto es la inercia, no la 'fuerza' de inercia).