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Hola de nuevo.Tengo una cierta duda porque vi un programa de matematica que dice enteros positivos ,representacion en la recta numerica,etc.

Que yo sepa los enteros tenia entendido si no me equivoco y espero que me corrijan si me equivoco   que era  el conjunto de numeros positivos y negativos(z) y asi lo habia aprendido y asi lo tengo en libros.
Como es eso de enteros positivos? son los naturales que ahora los llaman asi y se ven por separados? ¿y que entraria en ellos?¿sumas algebraicas,prop.conmutativa,etc?La verdad que esto me tiene desconcertada y me gustaria aprenderlo porque creia que cuando se hablaba de enteros eran los positivos y negativos juntos  :(o

y los racionales creo que serian calculos con fracciones sin ningun signo menos delante

desde ya muchas gracias y espero sus respuesta para poder aclarar y despejar estas dudas.

La cuestion es simple:

Los numeros negativos surgen de la imposibildad de resolver la ecuacion A+x=B en el conjunto de los numero naturales N, por lo q se les "añade" un inverso de A q es -A, creando el conjunto de los numeros enteros.

Este conjunto es un conjunto ordenado ya que cumple con relaciones  ≦ teniendo cota superior e inferiror.

Los numero enteros, entonces , pueden surgir de la siguiente forma:

Un numero negativo puede obtenerse de la resta de dos numeros naturales, por ejemplo 5-10=-5, lo q indica una relacion entre la pareja (5,10), pero esta no es la unica, tambien podria ser 2-7;10-15, etc..asi q se puede obtener una relacion entre numeros naturales
(a,b) y (c,d) que den el mismo numero negativo en una relacion

                                                                                     a - b = c - d

pero si b >a, la ecuacion anterior no esta definida en N, lo cual se soluciona reescribiendo la expresion como:

                                                                                     a + d = c + b

Lo cual hace q a+b este en N, entonces definimos una relacion que tome un elemento de los naturales y lo envie en otro natural o que (a) esta en N y (b) esta en N, es decir  F : NxN (donde F es la relacion u "operacion" q se les hace a los a y b), entonces decimos:

                                                  (a,b) F (c,d),   se cumple (o existe), si y solo si (⇔)   a + d = c + b


asi se define el conjunto de los numeros enteros Z como:

                                                                    Z= {(a,b) F : (a,b) NxN}, de todas las clases de equivalencia producidas por F en NxN.

lo q esta entre llaves se entiende como  El conjunto Z son las relaciones (a,b), tales q los a∈N y b∈N.

Donde la palabra "equivalencia" hace referencia a la forma de la relacion F:

Se dice q F  es una relacion de equivalencia sobre un conjunto K (en este caso N), si se cumplen las propiedades.

1) Reflexiva: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir, para todo X∈K, X F X (X se relaciona con X).

2) Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,para todos los X, Y∈R si X F Y⇒Y F X (si X se ralacona con Y, entonces Y se relaciona con X).

3)Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, Para todos X, Y , Z ∈ K, si X F Y y Y F Z⇒ X F Z.


Asi kedan definidas las propiedades de la relacion F, q son las propiedades de orden entre los elementos de Z.


Y ahora keda por resolver las demas propiedades en Z....te puedo decir sin entrar en tantos detalles   , q se cumplen la Asociatividad, la conmutatividad, la existencia de elemntos neutros, inversos, la distributiva y la propiedad de calusura.


Si analizas bien esto, puedes ver q lo q intituivamente contestamos como "los enteros positivos son los numeros naturales" parte del hecho de q en Z, todo se define apartir de N y no de otra cosa...