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Tengo la siguiente expresión:

1²-2²+3²-4²+...+(-1)^(n-1)n²=(-1)^(n-1) (n(n+1)/2)

En palabra sería la suma de los números naturales impares elevados al cuadrado menos la suma de los números naturales pares elevados al cuadrado.  Mi pregunta es como llega al resulado de esta suma porque el resultado es la suma de los números naturales pero con signo menos o positivo según sea n.

Espero me puedan ayudar.

Hola Arolruiz, bienvenido al foro.

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Hola de nuevo Arolruiz,

no me he olvidado de ti, pero es que he hecho varios intentos y no me sale. Estoy utilizando dos páginas que te pongo a continuación. No viene lo que buscamos pero sí parecido. Si por fin me sale te lo pongo aquí.

Sucesiones y series

Supongo que hay varias formas de hacerlo. La que propongo es la que se me ocurrio.

Para verlo mejor lo situo en una tabla, agrupados de dos en dos. En la primera columna va n2, en la segunda (n+1)² pero puesto en forma de binomio [(n-1)+1]² y en la tercera la suma de las dos anteriores, mejor dicho la resta puesto que la serie es alternada.

Primero lo hare suponiendo que n es par

1.........................-[1+2*1+1].........................-2*1-1
3²........................-[3²+2*3+1].......................-2*3-1
5²........................-[5²+2*5+1].......................-2*5-1


(n-1)²................-[(n-1)²+2*(n-1)+1]...............-2(n-1)-1

Como vemos los cuadrados se van y nos queda: -2(1+3+5+....+(n-1)) - n/2. (A)

Es importante entender el porque del n/2: Como he agrupado los numeros por pares, al sumar los n primeros tendre n/2 pares luego tendre n/2*(-1)

Vamos a transformar ahora 1+3+5+....+(n-1). Esta sucesion tiene ((n-1)+1)/2 terminos, es decir n/2 terminos. Cada termino lo podemos representar como

2*n-1 (el 1er termino sera 1*2-1, el segundo 2*2-1, el tercero 2*3-1,.......el n/2: 2*n/2-1=n-1).

Por tanto podemos sustituir y quedara: 1+3+5+.....+(n-1) = 2*(1+2+3+.....+n/2)-n/2

Ahora bien, 1+2+3+....+a = a*(a+1)/2, luego sustituyendo queda 2*[n/2*(n/2+1)]/2.

Volviendo a (A)  -2(1+3+5+...+(n-1))-n/2   =  -2[2*[n/2*(n/2+1)]/2-n/2]-n/2  =  - n*(n+1)/2. Para transformar el sigo - en una funcion de n y puesto que lo hemos calculado para el caso de n par pondremos (-1)^n-1 * n*(n+1)/2.

Para el caso de impar basta considerar los n-1 primeros y como n-1 sera par aplicar lo calculado anteriormente y luego sumar n².

Sera -(n-1)n/2 + n² = n*(n+1)/2 y ahora con signo + que coincide con lo calculado antes cuando n era par. Luego la formula sirve tanto en el caso de que n sea par como de que n sea impar.

Estos problemas son tremendamente engorrosos y lo mas probable es equivocarse por el camino.

Excelente la forma de resolverlo, te agradezco mucho.