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Para hacer la derivada de la función f(x) = x^x tomo como referencia que la derivada de K^f(x) es igual a f'(x) · K^f(x) · Ln K. Pero si lo aplico me da lo siguiente (entiéndase K como un valor constante):

f(x) = x^x
f'(x) = 1 · x^x · Ln x

y de esa manera no me da la correcta, pues tengo visto que la derivada de x^x es igual a x^x · Ln x + x^x

Entonces me pregunto, ¿de dónde sale ese sumando? ¿No se cumple la norma de la que partí al estar la variable respecto de que derivo en la base de la potencia? Porque obviamente, si parto de que la derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno por la derivada de la base, pues me daría f'(x) = x · x^x-1, que es menos coherente todavía. ¿De dónde sale ese sumando entonces? ¿Por qué me da problemas esa norma?

Hola Antonio, bienvenido al foro.

Pues mira por donde, las solución es la suma de ambas cosas...

x^x · Ln x + x · x ^x-1 = >>>

como

x·x^x-1 = x^x

>>> = x^x · Ln x + x^x = x^x·(Ln x + 1)


Si sabes algo de logaritmos, me lo comentas.

Te sale mal porque no es una constante elevada a una funcion, sino una funcion elevada a otra funcion.

Yo estas cosas las resuelvo siempre aplicando neperianos, porque no me acuerdo mas que de unas pocas formulas. Recuerda que la derivada de un neperiano es la derivada de la funcion partido por la funcion sin derivar.

Es decir: si y= ln f(x)---------> y' = f'(x)/f(x)

En este caso hacemos:

y = f(x)^g(x). Siendo f(x)=g(x)=x.    Se trata de encontrar y'

tomando ln queda:  ln y = g(x)*ln f(x). derivando

y'/y = g'(x)*ln f(x) + g(x)*[f'(x)/f(x)] sustituyendo f(x)=g(x)=x y f'(x)=g'(x)=1

y'/y = ln f(x) + 1 --------> y' = y* [ln f(x) + 1] = x^x*(ln x + 1) = x^x ln x + x^x