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Tengo el siguiente problema:

Dado el siguiente vector de posición: r(t)=t²·i+4t·j
Calcular en el instante t=2 s las componentes intrínsecas de la aceleración

Tengo duda de como calcular las componentes intrínsecas de la aceleración ya que en mi libro
viene excasamente explicado

Gracias

r(t)=t²·i+4t·j

La aceleración tangencial tiene de módulo:

at = dV/dt

es la derivada del módulo del vector velocidad. Su sentido es el del vector velocidad. Hay que buscar un vector unitario que tenga la dirección de V y ese es V/V (vector velocidad dividido por su módulo)

Calculemos primero el módulo de la aceleración tangencial:

V = dr/dt = 2·t i + 4·j

su módulo es:

V = √(4·t² + 16)

su derivada nos da el módulo de la aceleración tangencial:

at = dV/dt = 4·t/√(4·t² + 16)

Si quieres el vector aceleración tangencial tendrás que multiplicar lo anterior por un vector unitario que tenga la dirección de V y ese es V/V

siendo V = 2·t i + 4·j
y
V = √(4·t² + 16)

O sea, el vector aceleración tangencial será:

at = [4·t/√(4·t² + 16)] · (2·t i + 4·j)/√(4·t² + 16)

la primera parte es el módulo de at y la segunda el vector unitario que le da carácter de vector a la primera.

La acelaración total (vector) es:

a_total = dV/dt = 2·i

Nos queda la a_normal, como:

a_total = at + a_normal

de aquí lo sacamos, restando.

Sus módulo cumple (por formar un triángulo rectángulo):

a_total² = at² + a_normal²



Nota. Fijate bien en las cosas que van en negrilla que son vectores y las que no van en negrilla son módulos.

V = 2·t i + 4·j

V = √(4·t² + 16)

Resumen:

a_total = dV(t)/dt

a_tang = [dV(t)/dt]·[V/V]

a_norma = a_total - a_tang

La relación entre módulos es:

a_total² = a_tang² + a_norma²

Cuando vas en un coche y el cuerpo se va hacia delante o atrás (en la dirección de la velocidad) es que está actuando la aceleración tangencial.

Cuando tomas una curva, aunque no toques el acelerador o el freno, el cuerpo se va hacia las puertas laterales, perpendicular al movimiento, esa es la aceleración normal. Hay cambio de velocidad aunque no toque el acelerador pues estás cambiando la dirección de V y, por tanto, hay un cambio del vector velocidad en la unidad de tiempo (definición de aceleración).

Hay aceleración tangencial cuando cambia el módulo del vector velocidad (cuando no es uniforme).
Hay aceleración normal cuando cambia la dirección del vector velocidad (cuando no es rectilineo).

Cuando frenamos parece que el cuerpo es empujado hacia delente. Eso parece pero es mentira. Lo que ocurre es que mi cuerpo pretende seguir a la velocidad que iba y el asiento del vehículo se queda detrás de mí (frena). Eso produce la sensación de "irse hacia delante"

Lo mismo, pero al reves, cuando acelera. Es como si te empujan hacia delante cuando estás sentado en una sillas de ruedas, parece que la cabeza se va hacia atras, pero es la silla la que se va hacia delante.

Si en esa silla tirán hacia un lado de ella, tu cuerpo parecerá moverse en sentido contrario, porque pretende quedarse donde estaba (ley de inercia). Lo mismo ocurre cuando tomamos una curva.

Si la curva es a la derecha, el coche se desplaza a la derecha, como mi cuerpo pretende seguir la linea recta, parece que me voy hacia la izquierda (es el coche el que se va hacia la derecha)

He leido vuestra explicación y me ha parecido muy interesante, y al fin he comprendido las
componentes intrínsecas de la aceleración


Gracias  

Mira el gráfico que he copiado de otro tema en el segundo mensaje, te puede ayudar a enterder mejor estas cuestiones.

¿te piden la aceleración tangencial vector o sólo el módulo?

Yo creo que solamente piden el valor de at y an, el módulo me parece que no. No se exactamente
porque pasaron de largo este ejercicio y no me lo explicaron, pero tenía interés en aprenderlo

De todas formas gracias

Entonces lo que te piden es el módulo. Ten en cuenta que el vector contiene más información (entre ellas, el módulo)