Foros Ciencias Galilei

a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion siguente en el punto
x=1

f(x) =

x; si x<1
x; si x≧ 1


b) Dibuja la grafica de la función f(x) = |x-3|
¿Es continua en x=3? ¿Es derivable?

a) ¿Es esa la función a representar? Si es sí, esa función es la misma que f(x) = x sin más.

He unido los dos problemas pues son del mismo tipo.

Esta función es la misma que esta:

f(x) =

-x + 3 si x<3

x - 3 si x≧3

El igual se puede poner en cualquiera de las dos pues da el mismo valor (0).

Para que sea continua hay que comprobar que el límite (los laterales)  coincide con f(3)

Lim f(x) = Lim -x + 3 = 0
x→3^- 　　x→3

Lim f(x) = Lim x - 3 = 0
x→3⁺ 　　x→3

f(3) = 0

Es continua en x = 3

Hagamos la derivada:

f'(x)  =

-1 si x<3
1 si x>3

Para que sea derivable en 3 es necesario que los límites laterales de la derivadas coincidan, cosa que no ocurre. No es derivable es 3 (punto anguloso)



La función |x-3| es identica a esta pero corta al eje x en x=3 en vez de x=1

Como verás a ambos lados del corte tiene distinta pendiente, por eso no es derivable.

Por la derecha e izquierda de f(x) en x=1 la función tiende a 1 y f(1)=1 , es continua ya que esa recta es en realidad y=x y esta recta al igual que todas en continua en todos sus puntos.