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Demostrar que:

³√(26+15√3) + ³√(26-15√3) = 4

Debe  tener alguna técnica, pero llevo ya  un  rato  tratando  de hacerla, pero no se me ocurre  un camino!

Muchas  Gracias!

Para resolver este ejercicio hay que saber:

(a+b)³ = a³ + b³ + 3·a²·b + 3·a·b² (binomio de Newton)

Llamemos:

x = ³√(26+15√3) + ³√(26-15√3)

Hagamos x³:

x³ = ( ³√(26+15√3) + ³√(26-15√3) )³ = (26+15√3) + (26-15√3) + 3·³√(26+15√3)²·³√(26-15√3) + 3·³√(26+15√3)·³√(26-15√3)² = **

Si te fijas en los triples productos verás que ambos se pueden escribir como una suma por una diferencia (diferencia de cuadrados) por otro término (el que tiene cuadrado). Antes las dos raíces cúbicas multiplicando se meten en una sóla:

3·³√(26+15√3)²·³√(26-15√3) = 3·³√(26²-15²·3)·³√(26+15√3)

3·³√(26+15√3)·³√(26-15√3)² = 3·³√(26²-15²·3)·³√(26-15√3)

Si calculamos las diferencias de cuadrados verás que vale 1 = ³√(26²-15²·3)

Sustutuyendo arriba nos queda:

**= 52 + 3·³√(26+15√3) + 3·³√(26-15√3) = x³ =

= 52 + 3·[³√(26+15√3) + ³√(26-15√3)] = x³ =

Pero lo que hay entre corchetes es x:

= 52 + 3·x = x³ ⇒ x³ - 3·x - 52 = 0

Resolvemos este polinomio por Rufini y da x = 4

Luego x = ³√(26+15√3) + ³√(26-15√3) = 4 cqd