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Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en funcion del parametro a. Resolverlo cuando sea posible

3x - ay + 2z = a - 1
2x - 5y + 3z =      1
x + 3y - (a-1)z = 0



Y otro:

3x + (a²+1)y + z = 1
2x + 6y - 2z = 3a
x + y + z = -1

Teorema de Rouche Frobenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al rango de la matriz ampliada. Si además coincide con el número de incognitas será compatible determinado (una solución). Si los rangos son iguales pero menor que el número de incognitas entoces el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones).

Si los rangos son distintos no tiene solución. Es incompatible.



En este caso el determinante de la matriz de los coeficientes es:

-2a²+14a-20

Será nulo cuando -2a²+14a-20 = 0 ⇒ a=5 y a=2

Es este caso la matriz de los coeficientes tendrá rangos 2 pues hay un menor de segundo orden no nulo (primera y tercera columna)

Si a es distinto de 5 y de 2 el rango de los coeficientes será 3.

Estudiemos la matriz ampliada para estos valores de a:

Para a = 5 tenemos que la matriz ampliada tiene determinante distinto de cero (primera y tercera columna con el término independiente. Determinante = -30. Rango 3) Es, por tanto, incompatible por tener rangos distintos.

Para a= 2 la matriz ampliada tiene determinante nulo (primera y tercera columna y término independiente). Tiene rango 2, igual que la de los coeficientes pero menor que el número de incognitas. Es un sistema compatible indeterminado.

Si a no es ni 5 ni 2 el rango de ambas matrices es 3 igual al número de incógnitas, por tanto sería un sistema compatible determinado. Solución única.

Aún no di el teorema que me has explicado, este problema no se refiere a sacar x, y, z en funcion de a?  

El enunciado dice discutir para los distintos valores del parámetro a. No pide resolver para algunos de esos valores. Además, no se puede resolver porque las soluciones (e incluso que las haya) depende del valor que demos al parámetro a. Yo lo que he hecho es discutir el sistema. Se puede hacer también por Gauss pero es más tedioso. ¿Has dado lo del rango de una matriz?

Si, el rango si.

Por gauss tambien se pueden hacer rangos.

Los rangos los miro por el menor complementario

Pues eso es lo que he hecho yo. He visto que rango 2 tenía porque había un menor de segundo orden no nulo (primera y tercera columna) y he calculado a para que ver cuándo el rango es dos o tres. Si el determinante de los coeficientes es nulo (a=5,2) entonces el rango es 2. Para discutir el sistema para los valores de a tienes que conocer ese teorema independientemente que los rangos lo hagas por menores o por Gauss.

Esto es lo que no entiendo:

En este caso el determinante de la matriz de los coeficientes es:

-2a²+14a-20

Nosotros lo que hemos hecho es lo siguiente, nos dan una matriz, hacemos el determinante, sacamos el valor de a, sustituimos en la matriz y miramos si a = o no es igual al valor y por los menores saco los distintos casos de rango.

Este es el determinante de los coeficientes. Si ese determinante es cero entonces el rango es 2 y si es distinto de cero el rango es 3. Haz el determinante de los coeficientes y te tiene que dar eso.

Tú mismo dices que hacéis el determinante, pues esa ecuación de segundo grado es el valor del determinante y ahora se mira cuando es cero o no (el determinante). Pero será cero o no dependiendo del valor de a.