Foros Ciencias Galilei

Hola!!

me   estoi  iniciando en  estos   temas, me  gustaría  si me puedes  ayudar en el sgte.  ejercicio:

Demuestre  usando induccion que:

F(n) : 7²ⁿ +16n -1  es  divisible  por  64, es verdadera ( ∀ n; n∈IN)

Gracias!

Para probar una cosa por inducción, hay que probarla para:

n=1
n=2
.....

suponer que es cierta para n y con esto probar que es cierta para (n+1)

En nuestro caso:

n=1 ⇒ F(1) = 1·64
n=2 ⇒ F(2) = 38·64
n=3 ⇒ F(3) = 1839·64
n=4 ⇒ F(4) = 90076·64

ahora suponemos que es cierto que F(n) = 2²ⁿ+16n-1= K·64 (con K entero)
Debemos demostrar (basándonos en lo anterior) que:

F(n+1) = 2²⁽ⁿ⁺¹⁾ +16(n+1)-1 = K'·64 (con K' entero)

Creo que la clave está en sacar el término general de la suscesión: 1 , 38, 1839 , 90076 , ... para probar que F(n+1)=K'·F(n) suponiendo que es cierto que F(n)=K·64

Estoy en ello...

Suponemos que es cierto para n-1

7^2(n-1) + 16(n-1) - 1 = M64  Pongo M64 para indicar un multiplo cualquiera de 64

Desarrollamos:

7²ⁿ / 7² + 16n -16 -1 = M64. Quitando denominadores

7²ⁿ + 49*16n -49*16 - 49 = M64

7²ⁿ + 16n(48+1) - 17*49 = M64

7²ⁿ + 16n + (16*4n)*12 - 17*49 = M64

7²ⁿ + 16n = M64 - (M64)*12 + 17*49

7²ⁿ + 16n -1 = M64 - M64 + (833 - 1)...... 832= 13*64===> M64

7²ⁿ + 16n -1 = M64

Luego hemos demostrado que si es cierto para n-1 tambien es cierto para n.

Veamos si se cumple para n = 2

49 + 16 - 1 = 64. Por lo tanto si es cierto para 2 tambien lo es para 3 y tambien para 4 etc...

Luego es cierto para cualquier valor.

En realidad la demostracion se hace partiendo de que es cierto para n y se comprueba que entonces tambien lo es para n+1. Luego se comprueba para n=1 etc. No se porque lo hice partiendo de n-1 y llegando a n. Bien, tanto me da que me da lo mismo.

Saludos

Muchísimas,  pero   muchísimas   gracias!!!!!

Como   estoy  comenzando, me costó un poco  entenderlo,  sobre todo  algunos  pasos  que  se obviaron, además  estaba  acostumbrado  a  verificar con  n = 1,  luego  con  n = k  y   finalmente con  n = (k+1),  como  lo  enseñan  en  todos los  libros, pero  finalmente  logré  entender  todo  a   la  perfección.

Realmente  estoy  muy agradecido,  he  aprendido  bastante con esta página!

Es lo mismo suponer cierto para n y probarlo para n+1 que suponer cierto para n-1 y probarlo para n. Lo que quiere decir es que si es cierto para un determinado término, es cierto para el siguiente.