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Hola, pues mi problema es que no me acuerdo de lo siguiente.

Te dan una función para estudiar sus máximos, mínimos, puntos de inflexión, curvatura, etc.

Para hallar los máximos y mínimos se hace f'(x)=0 y se estudia su valor a la izquierda y derecha de los puntos críticos.
No me acuerdo si también se podía hacer con la segunda derivada f''(x).?????

Y aquí otra duda. Para hallar los puntos de inflexión ¿Cómo se hace? ¿Se iguala f''(x) a 0, y se estudia su valor a ambos lados de los puntos resultantes de f''(x)=0 o a ambos lados de los puntos críticos resultantes de f'(x)=0?

Sé que hay dos formas de hallar los puntos de inflexión. Si me lo pudieras explicar te lo agradecería.

Conclusión¿Cómo se hallan, máximos y mínimos y puntos de inflexión? Todas las formas posibles por
                   favor.
                  ¿Y para que se usan la 2ª y 3ª derivada en el estudio de la función?

Te pongo un problema, por si me lo explicas mejor a través de él (si quieres...)
Estudia la siguiente función (crecimiento, maximos/mínimos, curvatura, puntos de inflexión):

y=x³(3x-8)/12

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f(x) = x³(3x-8)/12 = (1/4)·x⁴ - (2/3)·x³

Una función tiene un máximo en x=a si f'(a) es cero y cambia de signo en ese punto (de + a -).

Para llegar a una cumbre antes hay que subir (pendiente positiva f'(x)>0 para x<a), en la cumbre la pendiente es nula y después hay que bajar (pendiente negativa f'(x)<0 para x>a).

Una función tiene un mínimo en x=a si f'(a) es cero y cambia de signo en ese punto (de - a +).

Para llegar a una valle antes hay que bajar (pendiente negativa f'(x)<0 para x<a), en la cumbre la pendiente es nula y después hay que subir (pendiente positiva f'(x)>0 para x>a).

En nuestro caso:

f'(x) = x³ - 2·x² = 0 = x²·(x - 2) ⇒ x = 0 y x = 2

Los posibles puntos singulares son el cero y el dos. Vamos a ver si cambia de signo la derivada en ellos:


Si x<0 ⇒ f'(x) < 0

Si 0<x<2 ⇒ f'(x) < 0

Si x>2 ⇒ f'(x) > 0

Luego en x=0 no hay punto singular pues la función baja, se pone horizontal y luego sigue bajando (la derivada no cambia de signo).

En x=2 sí hay mínimo pues pasa de bajar a subir (pendiente negativa a positiva). El mínimo está en el punto (2,f(2))

Otra forma de ver si es máx o mín es utilizando las sucesivas derivadas:

Se sustituye el valor que anula a la primera derivada en las sucesivas derivadas hasta encontrar una no nula. Si ésta es de orden par (segunda, cuarta, etc) entonces es máx o mín. Máx y es negativa y mín si es positiva. Si la primera derivada no nula es de orden impar estonces se trata de un punto de inflexión.


Un punto de inflexión (donde cambia la concavidad la f(x)) es un máx o mín de la derivada. Luego repite todo lo explicado pero con la derivada. Deriva la derivada e iguala a cero y mira que cambie de signo.

Vamos a estudiar los puntos de inflexión de f(x) o lo que es lo mismo, los máx y mín de su derivada.

f''(x) = 3·x² - 4x = x(3x - 4) = 0 ⇒ x=0 y x= 4/3

Si x<0 ⇒ f''(x) > 0

Si 0<x<4/3 ⇒ f''(x) < 0

Si x > 4/3 ⇒ f''(x) > 0

Luego en x= 0 y en x=4/3 hay puntos de inflexión, es decir, la derivada tiene un punto singular (máx o mín).


Ver:

Estudio de la gráfica de una función (acienciasgalilei.com)

Lo primero, gracias por responder tan pronto.

Lo segundo, muy pero que muy bien explicado, me he enterado de todo.

Respecto a los puntos de inflexión, la frase que me ha revelado la gran duda ha sido esta:

Un punto de inflexión (donde cambia la concavidad la f(x)) es un máx o mín de la derivada. Luego repite todo lo explicado pero con la derivada.


Muchas gracias. Me has sido de gran ayuda.

Por cierto, visitaré esta página, incluído el foro muy amenudo, está muy bien.