Foros Ciencias Galilei

∫3xdx/(x⁴+16)

∫dx/(x+1)(x²+2x)^(1/2)

∫ln(lnx)dx/x

Dividiendo por 16 numerador y denominador:

(3/16) ∫ xdx / [(x²/16) + 1] =

(3/16) ∫ xdx / [(x/2)² + 1] =

Es un arcotangente. Nos falta en el numerador 1/2 que es la derivada de x/2. Multiplicanos y dividimos por ese número:

(3/8) ∫ ½xdx / [(x/2)² + 1] = (3/8) arctag (x/2) + Cte

Haciendo t= Ln x ⇒ dt = (1/x)dx = dx/x

∫ln(lnx)dx/x = ∫Ln t dt = (Ln t)²/2 = ½·Ln² (Lnx) + Cte

Hacemos el cambio:

t² = (x² + 2x) = (x+1)² - 1

(x+1) = √(t²+1)

Diferenciando la primera queda:

2t·dt = 2(x+1) dx ⇒ t·dt = (x+1)·dx

de donde:

dx = t·dt / (x+1) ⇒ dx = t·dt / √(t²+1)

Sustituimos:

∫t·dt / [√(t²+1)·√(t²+1)·t] = ∫dt / (t²+1) = arctan t = arctan √(x²+2x) + Cte