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Dados los puntos A ( 3,1) y B (5,4) encontrar los puntos alineados con A y B y que se encuentren:

a) A doble distancia  de A que el punto B.
b) A la tercera parte de la distancia de B que el punto A.
c) A la misma distancia de A que B.
d) A la misma distancia de B que A.

Uno de los puntos buscados estará entre A y B y el otro a lado contrario de B.

El que está entre A y B debe estar a 2/3 de A y 1/3 de B para que sea doble la distancia a A que a B.

OP = OA + (2/3)AB = OA + (2/3) (OB - OA) = (3,1) + (2/3)(2,3) = (3,1) + (4/3,2) = (13/3,3)

El otro debe cumplir que

OP = OA + 2 AB = (3,1) + 2 (2,3) = (7,7)

Nota: Los apartados a) y b) son idénticos (que en el caso de que el punto esté entre A y B).

Debe ser el punto medio entre A y B.

OP = OA + ½AB = (3,1) + (1/2)·(2,3) = (4, 5/2)

Nota: El apartado c) y d) son idénticos.

La distancia entre dos puntos coincide con el módulo del vector que une ambos puntos.

Sea A(a₁,a₂) y B(b₁,b₂)

El vector que va de A a B tiene de componentes:

AB = OB - OA = (b₁,b₂) - (a₁,a₂) = (b₁-a₁ , b₂-a₂) y su módulo será:

|AB| = distancia de A a B = √[(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)²]

Por otro lado la condición para que tres puntos estén alineados es que los vectores formados dos a dos con ellos sean paralelos.

En nuestro caso los puntos son: A(3,1) y B(5,4). (x,y) estará alineados con A y B si:

(x,y) = (3,1) + t·(5-3,4-1) = (3,1) + t(2,3) (ecuación vectorial de la recta)

Los puntos alineados con A y B tienen la forma: (3+2t , 1+3t) = (x,y)

Mirate primero esto y luego discutimos el problema propiamente dicho.

Ver: Puntos alineados. Recta

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Sabemos que el punto que buscamos tiene la forma (3+2t , 1+3t) por estar alineado con A y B. Su distancia (al cuadrado) al punto A será:

d_A² = (3 - 3-2t)² + (1 - 1-3t)²

Al punto B será:

d_B² = (5 - 3-2t)² + (4 - 1-3t)²

Como queremos que diste de A el doble que de B:

d_A = 2·d_B ⇒ d_A² = 4·d_B²

Sustituyendo:

(3 - 3-2t)² + (1 - 1-3t)² = 4·[(5 - 3-2t)² + (4 - 1-3t)²]

Simplificando y operando te debe quedar dos soluciones: t= 2/3 y t=2

Se sustituyen ambos en (3+2t , 1+3t) y te dará dos puntos que cumplen con la condición pedida.