Foros Ciencias Galilei

1)a-

Halla todas las raíces racionales para

P(x)= 2x³-9x²+7x+6

---

yo lo saque mediante el término independiente y me dió:
3; -3;-6;6;1;-1;2;-2
de las cuales solo 3 y dos son sus raíces

y despues hice

     2 -9 7 6



3   4 -10 -6
─────────────────
     2 -3 -2 0
teorema de gaus

no se si esta bien o si mezcle todo

Aplicando Rufini (que no sé si es lo mismo que Gauss) da:

　　2　-9　7　 6
2　　　4　-10 -6
----------------------
　　2　-5　-3　0
3　　　 6　 3
-----------------------
　　2　 1　 0

Lo que quiere decir que:

P(x)= 2x³-9x²+7x+6 = (x - 2)·(x - 3)·(2x + 1)

Luego la tercera raíz que falta es:

2x + 1 = 0 ⇒ x =-½

Entonces ¿tengo que primero hacer la tabla con el menor número de las raíces y despues con respecto a esos numeros que me dan hacer la misma tabla con la otra raíz?
Pero después lo que quieren decir esas tablas se saca con respecto a las raíces que obtuvimos?
(x-2) por ejemplo que es 2 la raíz o no?.
Pero despues de eso  a mi a pesar que habia hecho mal el ejercicio me dio
(x-2).(x-3)
nada mas, porque como saco el (2x+1)?
Disculpa que tenga tantas dudas, pero la verdad que no lo entiendo..

Te lo explico.

Rufini es un método fácil para dividir un polinomio entre un binomio (x-a)
Esto se quiere hacer para descomponerlo en sus raices. Es decir, escribir el polinomio en la forma:

P(x) = =(x-a)(x-b)....(x-s)

donde a,b,...,s son los ceros o raices del polinomio (los números que lo anulan). Son donde corta el polinomio al eje de las X si lo quisieras representer gráficamente. A esto se la llama factorizar el polonomio.

Es como cuando quieres descomponer, factorizar un número:

30 = 15·2 = 5·3·2

Si el resto es cero se puede factorizar ya que en un cociente, cociente por divisor más el resto nos da el dividendo. Si el resto es cero, entonces el dividendo es el cociente por divisor.

En el caso de 30, probaríamos a dividirlo entre 2, por ejemplo, y nos daría 15 en el cociente y dos sería el divisor. Luego repetimos el método para los sucesivos cocientes (15 lo dividimos entre 3...)

Esto es lo mismo con los polinomio. Aquí el divisor tiene la forma (x-a).

En fufini, el dividendo (polinomio) se coloca en la primera fila, el número que anula al divisor (raiz) en la izquierda, debajo del anterior. En la tercera fila esta el cociente (exceptuando el último número que es el resto, éste debe ser cero)

　　2　-9　7　 6
2　　　4　-10 -6
----------------------
　　2　-5　-3　0

2 -9 7 6 son los coeficientes del dividendo (a descomponer)
2 es la raiz que probamos (estamos dividiendo por x-2)
En la tercera fila, el último número es el resto y los demás los coeficientes del cociente. (que luego será el siguiente dividendo)

Es como si la primera fila representara el 30 en nuestro ejemplo
la segunda el 2
y la tercera (el resultado de dividir a ambos) el cociente (15)

Luego:

2x³ - 9x² + 7x + 6 = (2x² - 5x -3)·(x - 2)

Ahora se repite lo mismo con (2x² - 5x -3)

　　2　-5　-3　0
3　　　 6　 3
-----------------------
　　2　 1　 0

Hemos probado con 3 (dividimos entre x-3) y da resto cero.

2x² - 5x -3 = (2x + 1)·(x - 3)

2x - 1 = 2x - 2/2 = 2·(x-½)

Uniendolo todo queda que:

P(x)= 2x³-9x²+7x+6 = (x - 2)·(x - 3)·(2x + 1) = 2·(x - 2)·(x - 3)·(x + ½)

Vemos que la raiz que nos faltaba era -½.

Ruffini para mi gusto es el método más comodo y rápido, y Galilei lo ha explicado estupendamente.

En cuanto al Teorema de Gauss, lo que dice es que si p/q es raíz racional del polinomio, entonces p divide al término independiente (en este caso el 6) y q divide al coeficiente principal (en este caso el 2).

Por tanto, las raíces racionales del polinomio sólo pueden tener por numerador a 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6 y -6 ; y como denominador a 1 o a 2.

Por tanto, las raices racionales del polinomio pertenecen al siguiente conjunto:

1, -1, 2, -2, 3, -3, 6,  -6,  1/2, -1/2, 3/2 y -3/2

Al sustituir en el polinomio se comprueba que las dichas raíces son 2, 3 y -1/2

Todos lo días se aprende algo nuevo. Conozco unos pocos teoremas de Gauss pero éste no lo conocía   (de raices racionales). Gracias por la explicación.

Gracias gentes, en serio sos de mucha ayuda y el otro muchacho tambien, es dificil tenerme paciencia.. los admiro realmente

tengo un ejercicio que es calcular las raices de los sig. polinomios:

p(x)= 2x³-6x-4

yo saque las raices por el término independiente y me dio que las raices son -1 y 2

se puede hacer esto?:
      2   0   -6   -4
-1        -2   2     4
-------------------------------
     2   -2   -4    0


2         4     4
-------------------------------
     2   2     0

por lo tanto
(x+1) (x-2) (2x+2) ?

Que es lo mismo que:

2·(x+1)²·(x-2)

si el ejercicio es
P(X)= 3x³-14x²+17x-6

yo saque las raices a traves del termino independiente
y me dio 1 y 3

entonces hice la tabla y la primera me dio:

3  -11  6  0

y la segunda

3   -2   0

por lo tanto:
(x-1)(x-3)(3x-2)

y despues me pide que haga el grafico por medio de los signos pero no me sale

yo la hice asi a la tabla:
signos     -∞   1   3   +∞
(x-1)        -     0   +    +
(x-3)        -     -    0    +
(3x-2)      -     +   +    +

nose si es correcto esto
y nose tampoco como se grafica.