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f(x) = x³ - 6·x² + 9·x



f(x) = x³ - 6·x² +9·x = 0

x·(x² - 6·x +9) = 0

x=0

x² - 6·x +9 = 0 = (x-3)² ⇒ x=3 (raíz doble)



f(0) = 0 .Pasa por el origen de coordenadas.



No tiene por ser un polinomio



Una función se dice que tiene un máximo o mínimo en x = x_o si su derivada se anula y cambia de signo en él. De positiva a negativa, máximo. De negativa a positiva, mínimo.

Una función es creciente en un punto x_o si su derivada es positiva en él.  f'(x_o) > 0
Una función es decreciente en un punto x_o si su derivada es negativa en él.  f'(x_o) < 0

Una función se dice que tiene un máximo o mínimo en x = x_o si su derivada se anula, f'(x_o)  y cambia de signo en él. De positiva (la función es creciente) a negativa (la función es decreciente), máximo. De negativa a positiva, mínimo.

f'(x_o) = 0 y signo f'(x_o⁺)≠ signo f'(x_o^-)

f'(x) = 3x² - 12·x +9 = 0 =3·(x-3)·(x-1) = 0 ⇒ x=1 y x=3. Son posibles puntos singulares (máx o mín).



en (1,f(1)) hay un máximo relativo
en (3,f(3)) hay un mínimo relativo

Los puntos de inflexión es donde la curva cambia de convavidad. Son máximo o mínimos de la derivada por ser máximos o mínimos de pendiente. Por tanto, vamos a calcular los máximos y mínimos de la derivada, derivando ésta e igualando a cero y viendo que cambie de signo (igual que antes)

f'(x) = 3x² - 12x + 9

f''(x) = 6·x - 12 = 6·(x - 2) = 0 ⇒ x = 2




En (2,f(2)) hay un punto de inflexión. Hay un mínimo de pendiente en él.

Compare la función con su derivada:

La derivada segunda es - para x<2 y + para x>2 y nula en x=2 ⇒ la primera derivada es decreciente hasta el 2 y crece después del x=2.