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Hola,

Vamos a calcular la aceleración en función del tiempo en el intervalo (t₁, t₂). Es una función afín (recta) de pendiente:  ao/∆t     siendo ∆t = t₂ - t₁. luego:

a(t) = (ao/∆t)·t + af

Para calcular la ordenada en el origen, af, le imponemos que para t₂ ,  la  a(t) = 0

0 =  (ao/∆t)·t₂ + af  =>    af = -(ao/∆t)·t₂

De donde:

a(t) =  (ao/∆t)·t - (ao/∆t)·t₂ = (ao/∆t)·(t - t₂)

Puede comprobarse que esta recta pasa por (t₂, 0) y por (t₁, -ao)

La velocidad es la integral de la aceleración, es decir, su área:

En los primeros t₁ segundos la velocidad alcanzada es V₁ = ao·t₁ (es el área entre 0 y t1). El área (negativa) entre t₁ y t₂ es un triángulo. Para que se detenga ambas áreas han de ser iguales:

ao·t₁= ½(t₂ - t₁)·ao       =>     t₁= ½(t₂ - t₁)    =>    t₂ = 3·t₁    =>  ∆t = t₂ - t₁ = 2·t₁



Para calcular la V(t) Hay que integrar    V(t) = ∫a(t)·dt + Vf

Sabemos que para t = t₁ la velocidad es V₁ = ao·t₁  Es la velocidad que tiene cuando empieza a frenar. Integrando:

V(t) =  (ao/2∆t)·t² - (ao·t₂/∆t)·t + Vf         (Vf es la cte de integración)

ao·t1 = (ao/2∆t)·t₁² - (ao·t₂/∆t)·t₁ + Vf           Sustituyendo t₂ = 3t₁ y depejando Vf:

Vf = (9/4)ao·t₁    Luego:

V(t) =  (ao/∆t)·t²/2 - (ao·t₂/∆t)·t + 9ao·t₁/4 =                 (∆t = 2·t₁   y   t₂ = 3·t₁)

=  (ao/4t₁)·t² - (ao·3t₁/2t₁)·t + 9ao·t₁/4 =

= (ao/4t₁)·t² - (ao·3/2)·t + 9ao·t₁/4 = (ao/4)(t²/t₁ - 6t + 9t₁)


X(t) se obtiene integrando V(t) Pero no conocemos las condiciones iniciales por lo que no podemos averiguar la cte de integración o se supone que para t = 0  la posición es x= 0.

Para un tiempo t₁ la x₁ = ½·ao·t₁²

x(t) = ∫V(t)dt + xf             (xf  es la cte de integración)

x(t) = (ao/4)(t³/3t₁ - 3t² + 9t₁·t) + xf                Le imponemos la condición que para t₁  la x(t₁) = ½·ao·t₁²

½·ao·t₁² = (ao/4)(t₁³/3t₁ - 3t₁² + 9t₁·t₁) + xf

½·ao·t₁² = (ao/4)(t₁²/3 - 3t₁² + 9t₁²) + xf

(ao/4) (-t₁²/3 - 4t₁²) = xf = -ao·13t₁²/12         Luego, sustituyendo en x(t):

x(t) = (ao/4)(t³/3t₁ - 3t² + 9t₁·t -13t₁²/3)

Nota: Repasar los cálculos.