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Hola qué tal, la función es ∫sen √x dx

Intenté hacerla con el método por partes pero no me dió el resultado correcto. Investigando por internet encontré esta respuesta:

∫ sen(√x) dx =

antes necesitamos una sustitución

sea:

√x = t

x = t²

dx = 2t dt

luego, substituyendo:

∫ sen(√x) dx = ∫ sen t 2t dt =

(llevando fuera la constante)

2 ∫ t sen t dt =

ahora procedamos por partes, poniendo:

t = u → dt = du

sen t dt = dv → - cos t = v

y obteniendo:

∫ u dv = v u - ∫ v du

2 ∫ t sen t dt = 2 [(- cos t) t - ∫ (- cos t) dt] =

2 [(- t cos t) + ∫ cos t dt] =

- 2t cos t + 2 ∫ cos t dt =

- 2t cos t + 2sen t + C

substituyamos de nuevo t = √x, concluyendo con:

∫ sen(√x) dx = - 2(√x) cos(√x) + 2sen(√x) + C

Pero no entiendo por qué sustituye dx=2t si la función no tiene un 2t para ser reemplazado.
Espero su respuesta, desde ya muchas gracias.

Cuando tú empleas sustitución al cambiar

√x = t

x = t²

Derivando

dx = 2t dt

También tienes que cambiar el dx en la integral.

Gracias, ya entendí mi error, ¡saludos!