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Se lanza desde una cierta altura dos cuerpos simultáneamente, con la misma velocidad, uno hacia arriba y otro hacia abajo. Llegan al suelo con una diferencia de tiempo de 5 s. ¿Con qué velocidad se lanzaron?

Gracias por responder a mi petición.
He tenido un problema ... con  matemáticas o porque mis ideas no estan claras. ( utilizo 9.8 m / s² para acostumbrarme, no hace falta que tu lo utilizes )

En el primer caso ( Vertical hacia abajo ):
a(t)= - 9.8 j
v(t)= (-9.8·t - v_A)j
r(t)= (-9.8·t²/2 - v_A·t+ h) j

En el segundo caso (v_A=v_B) :
a(t)= - 9.8 j
v(t)= (-9.8·t + v_A)j
r(t)= (-9.8·t²/2 + v_A·t+ h) j

[hr]
Creo que el plantamiento es correcto, en lo que dudo es si he de igualar las posiciones ( habiendo despejado t en la ecuación de v )
y asi hayo la velocidad inicial de A.
t= - v_A / -9.8

-9.8·t²/2 - v_A + h = - 9.8· (t - 5)²/2 + v_A·t + h
Tambien dudo si es t - 5 o t + 5 porque cae tras 5 segundo de t ... yo lo he intentado hacerlo como te he expuesto pero no he acabado, ya que veo que la ecuacion se las trae  

Si dos cuerpos caen al suelo con un retardo de 5s, ese retardo lo mantienen cte durante toda la caída.

Un observador que estuviera  en una ventana a una altura intermedia habría medido el mismo desfase. Dos piedras pueden caer a distinta velocidad pero la diferencia de ellas se mantiene ya que amba la aumentan en 9,8 m/s cada segundo.

Un observador que estuviera a una altura h (desde donde se lanzan) también mediría el mismo desfase (5 s). Eso quiere decir que 5 s después de lanzar la que desciende aparecería la que se lanzó hacia arriba pero, ahora, cayendo (en h).

Luego si la piedra lanzada hacia arriba cae en 5 s (pasar de nuevo por h pero bajando) es que tardó 2,5 s en alcanzar la altura máxima (V_f=0) y para que ello ocurra la velocidad de lanzamiento debía ser:

2,5·9,8 m/s (solución) ya que la Tierra resta 9,8 m/s cada segundo a la velocidad de lanzamiento.

Por cierto, tus ecuaciones están bien planteadas   . A ver qué haces con ellas para obtener la solución.  

 ah !   claro ... ahora entiendo, pero me falto logica para saber que tardaría 2.5 s, pero claro ahora lo veo logico. Valla forma de comerme la cabeza que tengo:
v(2.5)= -9.5·t - v_A
v_A=24.5 j
Vale muchas gracias, puede que caiga en el examen.

Vamos a ver qué sabemos de las ecuaciones:



Esto es correcto cuando ambas r(t) sean iguales a cero porque es el único sitio donde coinciden (son iguales) exceptuando en h, y t de la segunda se sustituya por t+5. Ojo, las ecuaciones del movimiento que escribístes están bien (las r(t)) para ambos.

No Es correcto poner t-5 a una de ellas puesto que se lanzan simutáneamente.

Lamemos t al tiempo que tarda en tocar suelo (r(t)=0) una y otra:

0 = -½gt² - Vo·t + h
0= -½g(t+5)² + Vo·(t+5) + h

No confundir cuando se cambia por t-5 porque ha salido 5 s después. Aquí salen al mismo tiempo pero una llega 5 s después que la otra al suelo h=0.

Resolviendo (igualando y simplificando) te queda:

-2Vo·t = -½·25·g - 5·g·t + Vo·t + 5·Vo

Hazlo y practica un poco con las mates.

Reagrupando y sacando factor común Vo de un miembro.

(4·t+10)·Vo = 25·g + 10·g·t

de donde:

Vo = (25·g + 10·g·t) / (10+4·t)

Para t=0 (momento del lanzamiento) nos queda que :

Vo = 25·g/10 = 2.5·g m/s

que es lo mismo pero con ecuaciones.

¿Cuál te gusta más?

He intentado llegar pero me e quedado por el camino :
g / 2 = 4.9 m/s²

- 4.9 t²- v₀·t + h = -4.9(t+5)² + v₀( t + 5 ) + h
- 4.9 t²- v₀·t + h = -4.9(t²+5²+10·t) + v₀t + v₀ 5 + h
- 4.9 t²- v₀·t + h = -4.9t²-4.9·25 -4.9·10·t + v₀t + 5·v₀  + h
- v₀·t = -4.9·25 -4.9·10·t + v₀t + 5·v₀
- 2 v₀·t = -122.5 - 49·t + 5·v₀


Me falta un v₀



Entendí todas las explicaciones sobre el tiempo.

Partimos de:

-½g t²- vo·t + h = -½g(t+5)² + vo( t + 5 ) + h

Multiplicamos por -2 ambos lados para quitar denominadores y signos - (la mayoría). Quitamos la h de los dos lados:

gt² + 2vot = g(t+5)² - 2vo(t+5)

Desarrollamos:

gt² + 2vot = gt² + 10gt + 25g - 2vot - 10vo

Ordenamos y sumamos términos (simplificamos el término gt²):

4vot + 10vo = 25g + 10gt

Sacamos factor común vo:

vo(4t + 10) = 25g + 10gt

vo = (25g + 10gt)/(4t + 10)

Cuando t=0:

Vo(0 s) = 25g/10 = 2,5g m/s