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Hola a ver si alguien me puede ayudar con esta integral que hay que resolver por el metodo Aleman:

          x²
∫ −−−−−−−−−−      dx
  √(x² - x + 1)

Gracias

Metodo alemán:

         P(x)                                                                   
∫ ---------------   dx
 √(ax² + bx + c)   

Esta integral se simplifica Hallando un polinomio Q(x) de grado menor que P(x)

         P(x)                                                                    1
∫ ---------------   dx =  Q(x) . √(ax² + bx + c) + λ ∫ ---------------  dx
 √(ax² + bx + c)                                                  √(ax² + bx + c)

Para hallar Q(x) y λ, derivamos ambas expresiones y obtenemos la igualdad

         P(x)                     d(Q(x) . √(ax² + bx + c))                      1
---------------   dx =   ----------------------------   + λ  ----------------  
√(ax² + bx + c)                          dx                                √(ax² + bx + c)

En nuestro problema:

P(x) = x²  
Q(x) = px + q

          x²                      d((px+q) . √(x² - x + 1))                     1
---------------   dx =   --------------------------   + λ  ----------------  
 √(x² - x + 1)                           dx                                √(x² - x + 1)

Derivando:

 d((px+q) . √(x² - x + 1))     
-------------------------  
               dx

   p(4x² - 3x + 2) + q(2x-1)     
-----------------------------  
          2√(x² - x + 1)

Reemplazando y operando:

2x² = p(4x² - 3x + 2) + q(2x-1) + 2λ

4p = 2  
-3p + 2q = 0
2p -q + 2λ = 0  

p = 1/2 , q = 3/4 , λ = -1/8

Reemplazando

           x²                                                                                 1
∫ ---------------   dx =  (x/2 + 3/4) . √(x² - x + 1) + (-1/8) ∫ ---------------  dx
    √(x² - x + 1)                                                                 √(x² - x + 1)