Foros Ciencias Galilei

Buenas, me he visto liado con dos ejercicios, que al parecer son sencillos, y a la hora de intentar hacerlos, no me quedan bien. Por esta razón, les agradecería INMENSAMENTE, su ayuda, y de igual manera, les agradezco, toda su colaboración.    

Aquí van:

• Escriba la descomposición en fracciones de la expresión:

        x²
______________

  x³-4x²+5x-2  

• Utilice el principio de inducción matemática, para demostrar el enunciado siguiente, es cierto para todos los números naturales:

1+4+7+...+(3n-2)=½n(3n-1)

Les agradezco ésta labor tan grande, y de igual manera, agradezco su ayuda con cada uno de los participantes del foro, en serio GRACIAS    

Hola,


Descomponemos el denominador  (Ruffini)  x³-4x²+5x-2 = (x-1)²(x-2)

Una raiz simple y otra doble:

     x                     A                  B                C         A(x-1)² + B(x-2)(x-1) + C(x-2)
−−−−−−−−−−− = −−−−−−−− + −−−−−−−− + −−−−−−− = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x³-4x²+5x-2          x-2              (x-1)           (x-1)²                  (x-2)(x-1)²

Como tienen el mismo denominador =>  mismo numerador:

x = A(x-1)² + B(x-2)(x-1) + C(x-2)

Para x = 1    =>    1 = -C       =>    C = -1

Para x = 2    =>    2 = A         =>    A = 2

Para x = 0    0 = A + 2B - 2C       2B = 2C - A = -2 - 2 = -4     =>   B = -2


     x                     2                 -2                -1     
−−−−−−−−−−− = −−−−−−−− + −−−−−−−− + −−−−−−−
x³-4x²+5x-2          x-2              (x-1)           (x-1)²

Suponemos cierto para n-1:

1 + 4 + 7 + ... + (3(n-1)-2) + (3n-2) = Sn

a_n = 3n-2

S_n = ½n(3n-1)

S_n-1 + a_n = ½(n-1)(3(n-1) - 1) + (3n-2) = ½(n-1)(3n-4) + (3n-2) =

½(3n² - 7n + 4) +  (3n-2) =   (3/2)n² + n(-7/2 + 3) = (3/2)n² - (1/2)n =

½·n(3n - 1) = Sn     cqd

Muchas, muchas GRACIAS.