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Hallar el área de la región del plano limitada por las gráficas de las funciones que siguen:

a) f(x) = x³ + x    ;   x=2 y=0

b) f(x)= x³ - x    ;    g(x)= x²

c) f(x)= x³ - 6x² + 8x   ;    y=0

 _{2                                  2}
∫(x³ + x) dx = [x⁴/4 + x²/2]  = (4 + 2) = 6 u²
^{0                                  0}






Hay que ver dónde se corta ambas funciones (límites de integración):

x³ - x = x²     =>      x³ - x² - x = 0     x(x² - x - 1) = 0

(x² - x - 1) = 0

x = 0      x = ½(1±√5)

      _{0                       ½(1+√5)}     
A = ∫(x² - (x³ - x)) dx + ∫((x³ - x) - x²) dx =
 ^{½(1-√5)                       0}

   _{0                       ½(1+√5)}     
  ∫(- x³ + x² + x) dx + ∫(x³ - x² - x) dx =
^{½(1-√5)                     0}

= 13/24 - 5√5/24 + 13/24 + 5√5/24 = 13/12 u²

x³ - 6x² + 8x = 0

x·(x² - 6x + 8) = x·(x -2)(x-4) = 0

la función es  > 0  de 0 a 2   y   < 0     de 2 a 4

       _{2                           4}
A = ∫(x³ - 6x² + 8x) dx - ∫(x³ - 6x² + 8x) dx = 4 - (-4) = 8
     ^{0                            2}