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Calcule las derivadas de las siguientes funciones usando la definición.

a) f(x)= 3x + 1

b) f(x) = 3x² + 1

c) f(x) = √3x + 1

Hola,

Definición

                f(x ± h) - f(x)
f'(x) = Lim ----------------              con  h > 0
        ^h→0           ±h

+h es para la derivada por la derecha
-h es para la derivada por la izquierda



                3(x±h) + 1 - (3x + 1)              ± 3·(±h)
f'(x) = Lim ----------------------- = lim -------------- = 3
        ^h→0             ±h               (±h)




     3(x±h)² + 1 - (3x² + 1)              6·x·(±h) + 3·(±h)²
lim ------------------------- = lim -------------------  simplificando =
               ±h                                       ±h

lim  6·x + 3·(±h)² = 6·x      (ya que  ±h → 0)

    √3(x±h) + 1 - (√3x + 1)
lim -------------------------
                ±h

Multiplicamos y dividimos por el conjugado: √3(x±h) + 1 + (√3x + 1)

Sabemos que suma por diferencia es diferencia de cuadrados:

        √(3(x±h) + 1)² - √(3x + 1)²
lim ----------------------------------- =
       (±h) [√3(x±h) + 1 + (√3x + 1)]

           3(x±h) + 1 - (3x + 1)
lim --------------------------------- =
      (±h) [√3(x±h) + 1 + (√3x + 1)]

                  3·(±h)                                            3
lim ---------------------------------- = --------------------------- =
      (±h) [√3(x±h) + 1 + √3x + 1]          √3(x±h) + 1 + √3x + 1

Cuando h → 0
            
               3                              3
= ---------------------- = ---------------
   √3x + 1 + √3x + 1            2·√3x + 1


Definición derivada (Wiki)