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Demuestre que:

e^x ≤ 1+x·e^x

Hola,

Sea f(x) = (1+x·ex) - ex = 1 + (x - 1)·ex      (la diferencia de las dos)

Vamos a estudiar los valores máx o mín de la diferencia.

f'(x) = e^x + (x - 1)·e^x = x = 0    

La función diferencia entre  (1+x·e^x)   y   ex   tiene un punto singular en x = 0.

f''(x) = 1 > 0     Por tanto  x= 0 es un mínimo de la diferencia.

La diferencia entre (1+x·e^x)  y   e^x   como pequeña, es cero. Eso quiere decir que la diferencia siempre será mayor o igual a cero.

f(x) = (1+x·e^x) - ex = 1 + (x - 1)·e^x ≥ 0   =>    e^x ≤ 1+x·e^x