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Desarrollar hasta grado dos en Taylor la siguiente función:

f(x) = log x/x     en  x = 1

Hola,

f(x) = log x/x     en  x = 1

u = log x      u' = (1/x)·log e  =  (1/x)·(1/ln 10)

Derivada cociente   u/v    es    (v·u' - v'·u)/v²

         x·(1/x)·log e - log x       log e - log x                   
f'(x) = -------------------- = ------------------  con  x ≠ 0    (log e   es una cte)
                   x²                          x²

Ahora el numerador es  u = (log e - log x)       u' = (-1/x)·log e

          x²·(-1/x)·log e - 2x·(log e - log x)     -x·log e - 2x·log e + 2x·log x
f''(x) = --------------------------------- = ----------------------------- =
                             x⁴                                             x⁴

   -3x·log e + 2x·log x        2·log x - 3·log e
= ---------------------- = -----------------
              x⁴                             x³

Desarrollo serie Taylor  en  x = a:

f (x) = f(a) + [f'(a)/1!]·(x - a) + [f''(a)/2!]·(x - a)²

En nuestro caso  a = 1

f(1) = log 1/1 = 0/1 = 0           (ya que   log 1 = 0)

         log e - log 1
f'(1) = ------------- = log e
               1²

          2·log 1 - 3·log e
f''(1) = ------------------ = -3·log e
                 1³

Por tanto:

f(x) = log e·(x - 1) - (3/2)·log e·(x - 1 )²

Puedes cambiar   log e   por   1/ln 10 , es lo mismo

f(x) =  (x - 1)/ln 10 - 3·(x - 1 )²/(2·ln 10) =  (x - 1)/ln 10 - 3·(x - 1 )²/(ln 100)

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