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Hola! He revisado algunos temas ya resueltos en el foro y aún así no consigo resolver mi ecuación.

El enunciado es el siguiente:

Discutir y resolver,cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro 'a'

ax +  y +   z   =    2
ax + ay + 2z   =    a+2
-ax -  y  + az   =    a²+a-2

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Lo he planteado de la siguiente manera, pero no sé si es correcta o como seguir la matriz. Espero vuestra ayuda, mil gracias.



He usado el editor Latex, supongo que ya le iré cogiendo práctica jaja


saludos

Hola! Por rangos y determinantes :)
Es un ejercicio algo largo y un poco coñazo, ahí estoy a ver si lo saco.

saludos!

Hola,  Ahí va.

 ax +   y  +   z   =    2
 ax + ay  +  2z   =    a+2
-ax  -  y  +  az  =    a²+a-2

|C| = a³ - 2a - a + a² + 2a - a² = a³  - a = a·(a² - 1) = 0   (determinante coeficientes)

Si a ≠ 0 , 1 o -1     Rang_Coef = Rang_Ampliad = 3    Sist. Compatible determinado, una solución. (rangos iguales entre sí e igual número de incógnitas)


Si a = 0

0    1   1     2
0    0   2     2
0   -1   0    -2
                                                                                    1  1
Ran_C = 2   (hay un menor de segundo orden no nulo)            0  2


La matriz formada por las tres últimas columnas tiene determinate:

|A| = -4 - 2 + 4 = -2 ≠ 0   =>   Rang_Ampl = 3   (menor tercer orden no nulo) =>  Incompatible (rangos distintos)

Si a = 1

 1     1    1      2
 1     1    2      3
-1   -1    1      0
                              1  1
Rang_C = 2               1  2        Menor segundo orden no nulo

Orlamos ese menor con los términos independientes (tres últimas columnas):

                                                            1  2
|A| = -3 + 2 + 4 - 3 = 0     Rango_A = 2      2  3      Menor no nulo segundo orden

Rangos iguales pero menor nº incónitas   Sist Compatible indeterminado (infinitas soluciones)

Si a = -1

-1    1    1    2
-1   -1    2    1
 1   -1   -1   -2
                            1  1
Rang_C = 2            -1  2       Menor segundo orden no nulo

Orlamos (tres últimas columnas):
                                                                  1  2
|A| = -4 -1 + 2 + 4 + 1 -2 = 0     Rang_A = 2     2  1  Menor no nulo segundo orden

Sistema compatible indeterminado.


Espero que lo entiendas. No tenía ganas de utilizar el Latex.

Solución

Si a = 1

1     1    1      2
1     1    2      3
-1   -1    1      0

Como el rango es dos, tomamos dos ecuaciones independientes (que tenga rango dos)

 1     1    2      3       Las dos últimas por tener cero
-1   -1    1      0

Debemos tomas una incognta como parámetro. No puede ser la 'z' pues el rango de 'x' 'y' es 1. Pasamos 'x':

x = t   (parámetro)
y + 2z = 3 - t
-y + z = t

Sumando las dos últimas:

3z = 3     =>    z = 1

x = t
y = 1 - t         (de  -y + z = t  =>   y = z - t = 1 - t)
z = 1

Muchas gracias por responder tan rápido y a esas horas! jaja
Lo voy a estudiar detenidamente :)

saludos