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PROBLEMA

Se lanza un objeto desde una altura de 3 m (∆y) a una velocidad de 30 m/s. Este toca el suelo con un ángulo de 60º con el horizontal (β). Encuentra el ángulo de tiro (α) y la distancia de donde cae (∆x). Escribe todas las opciones y variables posibles.

A ver si me lo podeis resolver que yo llevo 4 tardes matando la cabeza.

Muchas gracias por adelantado.

Hola,

Ec. del movimiento:

Vox = Vo·cos α
Voy = Vo·sen α

Vo² = Vox² + Voy²

x = Vox·t                                          Vx = dx/dt = Vox
y = yo + Voy·t - ½·g·t²     [1*]            Vy = dy/dt = Voy - g·t

                      Voy - g·t
tg β = Vy/Vx = -------------          Ángulo que forma V depende de t.
                          Vox

                 Voy - g·t
tg (-60) = -------------- = -√3
                      Vox

Voy - g·t = -√3·Vox   =>    Voy + √3·Vox = g·t          [2*]

Por otro lado, sabemos de [1*]:

0 = 3 + Voy·t - ½·g·t²         =>    Voy = ½·g·t - 3/t

y que:            Vox = √Vo² - Voy² = √(Vo² - (½·g·t - 3/t)²)

Sustituimos en [2*]:

(½·g·t - 3/t) + √3·√(Vo² - (½·g·t - 3/t)²) = g·t

√3·√(Vo² - (½·g·t - 3/t)²) = g·t - (½·g·t - 3/t) = ½·g·t + 3/t    Elevamos al cuadrado:

3·Vo² - (½·g·t - 3/t)²) = (½·g·t + 3/t)²

3·Vo² =  (½·g·t + 3/t)² + 3·(½·g·t - 3/t)²

3·Vo² = ¼·g²t² + 9/t² + 3·g + 3·¼·g²t² + 27/t² - 9·g = g²t² + 36/t² - 6·g

g²t² + 36/t² - (6·g + 3·Vo²) = 0     Multiplicando por t²:

g²t⁴  - (6·g + 3·Vo²)·t² + 36 = 0

Esta ecuación es bicuadrada. Se resuelve haciendo (segundo grado)  t² = z:

g²z²  - (6·g + 3·Vo²)·z + 36 = 0

g²z²  - (6·g + 3·Vo²)·z + 36 = 0

z = 0.013            =>     t = √z = 0.114 s
z = 28,712          =>     t = √z = 5.358 s


El primer tiempo se corresponde con Voy negativa (tiro hacia abajo) y el segundo con Voy positiva (tiro hacia arriba).

Para t = 0.114      Voy = ½·g·t - 3/t =  ½·g·0.114 - 3/0.114 = -25.75 m/s

Vox = √Vo² - Voy² =  √900 - 25.75² = 15.39 m/s

Se hace igual para para t = 5.358 s

El alcance es:

x = Vox·t

Para t = 0.114 s:

xmax = 15.39·0.114 = 1.754 m        Se hace lo mismo para t = 5.358 s

Muchas gracias pero no me lo has resuelto del todo.

A ver si alguien puede acabarlo:

Encuentra el ángulo de tiro (α) y la distancia de donde cae (∆x). Tu me has calculado solo la distancia pero para esa distancia hay un cierto ángulo que es el que no puedo calcular. Mas bien dicho... dependiendo de la distancia habrá un ángulo u otro, o dependiendo del ángulo habrá una distancia u otra. Yo lo que necesito buscar es esa variable.

Espero que alguien me pueda ayudar!! Es que lo necesito saber!!

Lo único que te queda por hacer para calcular el ángulo de lanzamiento, α, es:

Para cada 't' sabemos Vx y Vy (del mensaje anterior):

Vx = dx/dt = Vox                    Vox = Vx
Vy = dy/dt = Voy - g·t            Voy = Vy + g·t

                          Vy + g·t
tg α = Voy/Vox = ----------------
                              Vx

Sabemos Vx, Vy  y   't'  para los dos tiempos posibles.

Hola Damia,

He corregido el error y lo he vuelto a hacer de nuevo. Revisa los cálculos. El error que cometí era de bulto y no te diste cuenta de ello. Me lo comentó Felixupi.

Les vuelvo a dar las gracias pero ahora cuando resuelvo la equacion general  g²z²  - (6·g + 3·Vo²)·z + 36 = 0  no me sale. Me salen valores negativos y por tanto cuando encuentras los tiempo a traves de las raizes son imposibles. Es decir, los resultados que usted a puesto no me coinciden.

Yo es que me lo miro y remiro y no lo puedo solucionar correctamente. Pero esque lo necesito encontrar ya que sin este problema resuelto no puedo continuar my proyecto de batxillerato.

Para el trabajo que estoy haciendo necesito encontrar la formula que sirve para todo este tipo de ejerjicios, y asi es mas facil. En este caso, aunque sea erronio el resultado (como he dicho arriva), seria:

0 = (1/4·g²-A²·1/4·g^2)z² + (-g·Yo+A²·g·Yo+A²·Vo²)z + Yo²-A²·Yo²

Sabes lo que quiero decir?

Gracias

Hola,



No lo entiendo. Pero si lo tienes resuelto aquí (ec. segundo grado):

9.8²*z² - (6*9.8 + 2700)*z + 36 = 0

Revisa los cáculos.

En esta ecuación ¿qué es A?

Hola,

Perdon por estar ausente tanto tiempo.

Ya tengo resuelto todos los problemas que tenia, muchas gracias. Pero tengo una última pregunta... ahora como puedo hacer para saber la velocidad final?

Gracias por adelantado otra vez

Hola,



Vx = dx/dt = Vox
Vy = dy/dt = Voy - g·t

Si sabes Vx e Vy para cada t, tienes:

V = Vx i + Vy j   (Vx  e  Vy  calculados para las dos t)

|V| =√Vx² + Vy²

Vx = Vox = 15.39 m/s
Vy = Voy - gt = -25.75 - 9,8·0,114 = -26.87 m/s

V = 15.39 i - 26.87 j      V = √15.39² + 26.87²

Se hace igual para para t = 5.358 s