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Hola, me piden analizar la función:

a)
sea f(x)=10x^2/3-x^5/3

dominio de f(x) y f'(x)
ceros de f(x)
intervalos de crecimiento decrecimiento

extremos locales
asintotas si tiene
y graficar

b)obtener los valores de K para la ecuación f(x)=K que tiene 3 soluciones

El dominio de la función son los valores para los cuales f esta definida, como es la raíz cúbica puede calcularse para los reales positivos y negativos, es decir, el dominio es los números reales.

Para hallar los puntos críticos calculamos la derivada e igualamos a cero.
derivando se tiene: f'(x)=10(2/3)(x^-1/3)-(5/3)(x^2/3)
20/(3x^1/3)-(5/3)x^2/3=(20-5x)/(3x^1/3)
igualando a cero la derivada se tiene: 20-5x=0→x=4 es un punto critico y no olvidemos al realizar el análisis de los intervalos incluir al cero para el análisis ya que no esta definido la derivada en cero. Antes calculamos la 2da derivada para determinar los puntos de inflexión, se tiene:
f"(x)= -20/(9x^4/3)-10/(9x^1/3)=(-20-10x)/(9x^4/3)
Al reemplazar 4 en la segunda derivada se obtiene un número negativo y esto es suficiente para concluir que en x=4 existe un máximo.
Igualamos a cero la 2da derivada para encontrar los puntos de inflexion.
-20-10x=0→en x=-2 hay un punto de inflexion porque si evaluamos f" a la izquierda y a la derecha de el hay cambio de signo.
Los intervalos a  analizar son los siguientes

(-∞,-2)            (-2,0)               (0,4)                  (4,∞)    
crece               crece                creciente            decreciente
cóncava arriba   cóncava abajo    cóncava abajo     cóncava abajo