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Hola en el parcial me pedían calcular la recta tangente de

G(x) = 2f(x) + 2∫f(√t)dt entre (x² y 1)

en x=1 sabiendo que y=-6x+7 es la recta tangente de f(x) en x=1

Hola.

Para hallar una recta, lo primero que necesitamos es conocer su pendiente y un punto por donde pase. Ya conocemos el punto en donde quieres calcular dicha recta, nos falta la pendiente: para ello, utilizaremos la derivada.

                             x²
G '(x)=2f '(x)+2 d/dx[∫f(√t)dt]
                            1
Para hallar esta segunda derivada, debemos llevar la expresión a la forma del Teorema Fundamental del Cálculo, es decir:
        x
d/dx  ∫f(t)dt= f(x)
       a

Con "a" cualquier constante. Notemos que tenemos una derivada de la forma dy/dx, así, por la regla de la cadena:

d/dx=(d/du) (du/dx)  

y si hacemos u=x² → d/dx= 2x d/du , así:

       x²                        u
d/dx ∫f(√t)dt = 2x d/du ∫f(√t)dt = 2x f(√u)=2x f(x)
      1                         1

Con lo que:

G '(x)=2f '(x)+4xf(x)

Pero qué es f(x)? . Nos dicen que la reta tangente en x=1 de f(x) es y=-6x+7 , así que la derivada (pendiente de la recta tangente) en dicho punto para f(x) es -6 : f ' (1) =-6 .

Ahora, dado que la recta tangente en dicho punto tiene el mismo valor que la función (porque sólo se tocan allí), el valor de f(x) en x=1 es:

f(1)=y(1)=-6(1)+7=1

Así, la derivada de G(x) en x=1 es:

G '(1)= 2f '(1)+4(1)f(1)=2(-6)+4(1)(1)=-12+4=-8

Que es la pendiente de la recta tangente a G en x=1. Así, la ecuación de la recta tangente sería:

y-y₀=m(x-x₀)

y-y₀=-8(x-1)

Hasta aquí me es claro todo. No se cuál es el valor de G(x) en x=1 es decir, no conozco el valor de y₀. Veré si se me pasa algo...

Por el momento, espero que te haya sido de ayuda.

Éxitos!!!...

Gracias!!, me ayudó tu respuesta, y gracias por los éxitos los voy a necesitar! ..

Hola, me quedé pensando como terminaba la solución de este problema..
nose si está bien pero se me ocurrio hacer esto:
necesito saber quién es g(x) para poder calcular g en el punto x=1 (g(1)) entonces habíamos dicho que
g'(x)=2.f'(x)+4x.f(x)
g'(x)=-12+4x.(-6x+7)
g'(x)=-12-24x²+28x

tengo la derivada de g pero necesito g como hago?
yo hice la integral de la derivada de g'(x) y obtuve -8x³+14x²-12x=g(x) pero en verdad nose si se puede hacer esto..

reemplacé x=1 y me dió
g(1)=-6

entonces junté todo para obtener la recta tangente de g(x) en el punto x=1

y=-8(x-1)-6
Y=-8x+2

Tienes un grave error:

f(x)≠y(x) , ya que y(x) es la ecuación de la recta tangente a f(x) en x=1.

Éxitos!!!...

P.D. Aún no veo como sacar el otro punto.