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Hola, en el parcial me tomaron este ejercicio y no pude hacerlo, quiero saber como se hace asi me preparo para el recuperatorio.
Me piden el área entre el eje x, las rectas x=0, X=4, y la función f(x)=(2x-6)¹⁵.e^{(2x-6)^8}


(Nota: el numero e esta elevado a (2x-6) y este a su vez está elevado a la 8)

yo integré la función entre 0 y 4 hice sustitucion, pero me da negativo nose como hacerlo.

gracias.

Si quieres dar una respuesta de área, no solo como el planteamiento de una integral definida, sino como en realidad la medida de la superficie que encierra la gráfica, debes saber en qué puntos te dará positivo y negativo, es decir, en que intervalos el área está por debajo del eje x y cuáles pon encima, así, tienes que dividir la integral en varias regiones.

Éxitos!!!...

entonces, tengo que igualar la función a x osea a cero y sacar las x, que en este caso me dió x=3

despues fijarme cuál es la función techo y cuál piso, para ordenarla en la integral de ese modo.

ejemplo
∫x-f(x)dx entre (0 y 3) + ∫f(x)-xdx entre (3 y 4)

algo asi?

Lo que intento decir es que debes saber en qué intérvalos la función va por debajo del eje x (negativa) , para ello hacemos:

f(x) < 0

(2x-6)¹⁵.exp[(2x-6)⁸] < 0

La función exponencial siempre será positiva, así que hace falta saber en donde es negativa la otra parte de la función. Dado que el exponente es impar, esto será negativo cuando su argumento es negativo, es decir:

2x-6 < 0

x < 3

Y ahí partes la integral de la forma:

   3              4
| ∫f(x)dx | + ∫f(x)dx
  0              3

La primera la puse en valor absoluto ya que ahí la función es negativa.

Éxitos!!!...

Muchas gracias por ayudarme Jorge! me quedo claro ahora.