Foros Ciencias Galilei

Hola,

a) ∫cosxsen^-2x dx=

t=cosx y dt:-senxdx
o se toman otras sustituciones¿?

yo lo seguí asi:

∫t.-(dt)^-2=
-1∫t/dt²=
-1∫1/dt=
-1∫1/(-senxdx)=
(-1/cosx)+C

seguramente está mal porque todavía no logro entender como resolverlas..

b) ∫cos^-22×d×=

t=2x→dt=2dx→dx=dt/2

∫cos^-2t(dt/2)=
1/2∫dt/cos²t=
1/2∫(1/cos²t).dt=
1/2∫(sec²x)dt=
1/2tgx+C

- Hola, Vicky.

I = ∫cosx sen^-2x dx

Las integrales trigonométricas o son inmediatas o hay que racionalizarlas, es decir, escribirlas como cocientes de polinomios, lo cual las hace resolubles (no siempre es posible ni fácil).

Antes de leer la solución de abajo, te propongo esto:

Si tuviéramos y = sen³ x  =>  y' = 3 sen²x cos x, que tiene una estructura comparable a la dada. Corregimos:

Si y= sen^-1 x  =>  y' = -1 sen^-2x cos x  es prácticamente la del enunciado, luego tenemos:

  I = - sen^-1 x + C   ya está resuelta.

---

                     

Y tenemos la opción general. Más complicada, pero muy segura:

Como esta no parece inmediata, la sometemos a la prueba de la paridad:



(descargar ; Univ de Elche, Alicante)

                         cos x         cos x
cosx sen^-2x = --------- = --------    Aún no se ha hecho nada, solo preparar el integrando.
                         sen² x       (sen x)²

Y ahora comprobamos que cambiando cosx por -cosx (se ve a simple vista), cambia de signo todo el integrando:

   -cos x            cos x
 ---------- = -  --------   Por cambiar de signo toda la expresión, la función integrando es impar en coseno.
  (sen x)²          sen²x

Para impar en coseno se recomienda el cambio de variable  t = sen x

Por ser sen²x + cos²x = 1 tenemos que cos x = √1-sen²x => cos x = √1-t²

                            √1-t²
Y quedaría I = ∫ ---------   dx         Pero no puedo mezclar variables: o todo en t o todo en x. Hay que escribir dx en función de t.
                                t²

 Para ello, tomo el cambio original:  t = sen x   y diferencio (derivo ambos miembros (x'=1 ; t'=1) y multiplico en cada uno por la diferencial de su variable):
                                             dt
   dt = cos x dx  => dx = ---------  
                                          √1-t²

Así que sustituyendo y simplificando:
         √1-t²      dt
I = ∫ ------   ------- =
             t²    √1-t²

         dt
=  ∫ ----    ya está racionalizada.
         t²

Esta es inmediata para mí  
          1
I = - ---- + C    (si no se ve inmediata, aplicar el método gral para integrales racionales)
          t

Y ahora deshacemos el cambio de variable:
            1
I = - ------- + C
         sen x

           1
I = ∫ --------- dx
        cos² 2x    
                                                                          1
Recordando que si f(x) = tg x  =>  f'(x) = 1 + tg² x = --------  , anda cerca de ser inmediata.
                                                                        cos² x

                                                 2
Si fuera f(x) = tg 2x  =>  f'(x) =  ---------   vemos que solo hay que corregir la falta de ese 2, luego:
                                             cos² 2x

                   2
I = 1/2 * ∫  --------- dx     esto es, como hemos dicho, derivada exacta de la tangente de 2x, luego:
                 cos² 2x  

      1  
I = --- tg 2x + C
        2
-----------------------------------------------------------------
Nota: Si hubiéramos aplicado el método de racionalización, veríamos que es un caso de par en seno, coseno (incluso si falta el seno).
El cambio adecuado debería llevar a la solución. Lo ideal es llevar bien sabidas las derivadas para intuir las integrales inmediatas.

Etxeberri muchisimas gracias por todo el trabajo que te tomaste en explicarme, sinceramente me ayuda mucho tu explicación  

¡ de ø !

jajaja