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Hola,
no me salen calcular los límites

A)lim_x→0(sen(2X)/x)^(tanx)/3x

me dá una indeterminación del tipo 0/0, entonces intenté multiplicar nominador y denominador por el conjugado, pero no me dá lo que dice el resultado

B)lim_x→0(sen(3x²)/sen(4x²))^1/x

me dá una indeterminación del tipo 0^∞

Tener en cuenta que: _{lim x→0} sen(x)/x=1

_{lim x→0}(sen(2x)/x)^(tanx)/3x = _{lim x→0} [2 Sen(x) Cos(x) / x ]^{Sen(x) / 3x Cos(x)} = 2^1/3

Gracias, la parte B me dio (3/4)^1/x  que vendría a ser cero, es asi?  

- Hola, Vicki:


           sen 3x²
  lím  ( ---------  ) ^1/x    (el exponente 1/x es para toda la fracción)
 x→0     sen 4x²


Si lo haces por infinitésimos equivalentes y simplificando, tienes:

         3x²
 lím ( -----) ^1/x =  
x→0    4x²


= lím  (3/4)^1/x = 0,75^∞ = 0
 x→0


Los infinitésimos equivalentes ayudan a resolver estos límites trig,exp,log,√ en que por L'Hôpital se irían complicando:
infinitésimos equivalentes (Wiki).

De una manera ampliada,      lím  sen U ~ U   , es decir,   lím  sen (5x³-2x²+x)  ~ 5x³-2x²+x   (¡x en rad!)
                                      U→0                                x→0  


Las indeterminaciones vienen a ser "contradicciones" en las que "no hay acuerdo":

∞/∞ ¿Quién puede más? El más bruto; no hay acuerdo.

∞-∞ : ídem.

0/0 : numerador 0 debería dar 0; pero denominador 0 valdría ∞; no hay acuerdo.

1^∞ : base 1 debería dar 1; exponente ∞ debería dar ∞; podría haber acuerdo: 1x1x1x1...=1, pero depende de que sea 1 por la dcha o por la izda.

0^∞ es una contradicción: base 0 debería dar 0; exponente ∞ debería ser ∞. Sin embargo, hay acuerdo: Un valor muuuy pequeño multiplicado infinitas veces por sí mismo lleva a 0 "pelón". 0^∞ no es indeterminado.

Para pensar: ∞^o , 0^o

Gracias Etxeberri, no sabia de los infinitésimos equivalentes. Llegaba a 0^∞, no podia justificar que es cero "pelón"

Un saludo.