Foros Ciencias Galilei

1) ∫^x f(t) dt = x²(1+x) con f una función continua en todos los puntos de la recta real calcula f(2)
     ⁰

2)Podemos asegurar que la gráfica de la función f(x) = 3·sen (x/2) - cos x² corta al eje 0X en algún punto del intervalo (0, π)? Razonar respuesta.

3) Calcula los extremos relativos de la función f(x) = x⁴ -8x+1. Calcula también el máximo y el mínimo absoluto de la función en el intervalo [-3,3]

4)Calcula los valores de a y b para que la función f(x) = ax²+bx·ln x tenga un punto de inflexión en el punto (1,2). Para esos valores de a y b calcula el dominio y los intervalos de concavidad y convexidad de f(x)

En x = 0 la función es negativa   =>    f(0) = -1

En x = π es positiva   =>    f(π) = 3 - cos π² > 0

Al ser una función continua (Teorema de Bolzano) debe existir un punto en ese intervalo donde la función es cero (corte con eje X)

f'(x) = 4x³ - 8 = 0           x = ³√2

Antes de ese valor la derivada es negativa y después es positiva, luego en él hay un mínimo

f(-3) = 106
f(3) = 58


Máx absoluto en ese intervalo 106

Mín absoluto en ese intervalo f(³√2) = -6,56

f(1) = 2   =>    2 = a       (Ln 1 = 0)

La función es (por ahora):

f(x) = 2x²+bx·ln x

f'(x) = 4x + b(1 + Ln x)       con x > 0

f'' (x) = 4 + b(1/x) = 4 + b/x   (punto de inflexión)

f'' (1) = 4 + b = 0     =>    b = -4

La función es f(x) = 2x²-4·x·ln x

La derivada segunda antes del 1 es menor que cero (concavidad negativa) y después es positiva.