Foros Ciencias Galilei

Buenos días. Ojala que podais ayudarme con estos problemas de selectivo.

1) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola f_x = x² -2x +1, su recta tangente en el punto (3,4) y el eje OX.

2)∫x² cosx dx.

3)Calcula a, b y c sabiendo que y = ax² +bx +1  e y= x³ +c tienen la misma recta tangente en el punto (1,2)

Gracias

Debemos calcular el área ABD (Area sombreada), AB es la tangente en el punto A(3,4) de la parábola.
La derivada de la función f(x) = x² -2x +1 en el punto A(3,4) es la pendiente de la recta que pasa por este punto:  f'(x)=2x-2  => f'(3) = 4
La ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,4) es: (y-4) / (x-3) = 4  =>  y = 4x-8    El punto B(2,0) es el punto de corte de la recta con el eje X.

Observando la figura: Area ABD = Area ACD - Area del triángulo ABC
                 _{3            3                                           3}
Area ACD = ∫f(x) dx = ∫ (x² -2x +1) dx = x³/3 - x² + x | = 8/3
                ^{1             1                                           1}
Area ABC= (3-2) · 4/2 = 2    => Area ABD = 8/3 - 2 = 2/3


2)Solucion de la integral por partes: ∫x² cosx dx = ∫x² [sen(x)]' = x² sen(x) - ∫2x sen(x) dx

La  integral ∫2x sen(x) dx, nuevamente por partes: ∫2x sen(x) dx = ∫2x [-cos(x)]' = -2x cos(x) + 2∫cos(x) dx = -2x cos(x) + 2 sen(x)

Reemplazando el valor de la ultima integral: ∫x² cosx dx = x² sen(x) + 2x cos(x) - 2 sen(x) = (x²-2) sen(x) + 2x cos(x)


El punto (1,2) pertenece a las dos ecuaciones:

Para la primera ecuación: 2= a + b + 1 => a + b =1 (ec. I)
Para la segunda ecuación: 2 = 1 + c  => c=1

Derivando cada una de las ecuaciones e igualando juntas derivadas en el punto (1,2):
2ax + b = 3x²  Para el punto (1,2):   2a+b=3  (ec.II)

De las ecuaciones I y II obtenemos los valores de a y b: a=2 ∧ b=-1
Las ecuaciones quedan de la forma: y = 2x² - x +1  ∧ y= x³ +1

Un saludo.

Muchas gracias