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Hola, a ver si me pueden ayudar con este problema:

Una mujer se encuentra en el borde de un lago circular de 4 km de diametro. Para llegar al punto diametralmente opuesto del lago, hace una primera parte remando a 2 km/h y después camina por el borde del lago a 4 km/h. En que dirección ha de remar para minimizar el tiempo?

Muchas gracias.

R = 2km
V₁ = 2km/h  Velocidad remando.
V₂ = 4km/h  Velocidad caminando

Remando recorre la distancia L en el tiempo: T₁ = L / V₁  

Caminando recorre el arco de circunferencia S en el tiempo T2 = S / V₂

El tiempo total de recorrido: T = T₁ + T₂ = L / V₁ + S / V₂ (Ec.1)

El triángulo ABC es rectángulo por estar inscrito en la circunferencia, tenemos entonces:

Cos(α) = L / (2R) => L = 2R Cos(α) (Ec.2)

El ángulo β=2α. Además S = β R = 2αR  (Ec.3)

Reemplazando Ec.2 y Ec.3 en Ec.1:

T =  2R Cos(α) / V₁ + 2αR / V₂ = 2R [Cos(α) / V₁ + α / V₂]

Derivando T con respecto a α, igualando a cero para encontrar el ángulo que hace el tiempo mínimo ó máximo:

dT/dα = 2R [-Sen(α)/V₁ + 1/V₂ ] =0    =>  Sen(α)= V₁/V₂   α=ArcSen(V₁/V₂)= π/6  (Reemplazando los valores de velocidad)

Este ángulo sería un maximo de acuerdo a la segunda derivada, el mínimo de esta función esta en α= π-π/6=5π/6. Pero como el ángulo posible estaría entre 0 y π/2. Graficando la función T(α) vemos que el punto mínimo esta en π/2  (en el rango 0 y π/2)

Con ángulo de π/2 lo cual indica que solo caminando llegaría mas pronto. Tardaría: πR / V₂= 1.57 H

Saludos.

Hola,

Muchas gracias por la respuesta, pero no acabo de entender porque al final al saber que es un máximo haces la resta ∏- ∏/6.

De la ecuación Sen(α)= V₁/V₂ = 1/2

La función Seno es positiva en el primer y segundo cuadrante:   Sen(30^o)=Sen(180^o - 30^o)=1/2

En términos de radianes: 30^o≡π/6   ∧   150^o≡π-π/6=5π/6

Entiendo. Muchas gracias de nuevo, me has ayudado mucho.
Un saludo

Perdona que vuelva a molestar pero pensaba que lo sacaría por mí mismo, pero no veo porque β=2α. Yo pensaba sacar β con la ley del seno.

El triángulo AOC es isosceles (O es el centro de la circunferencia), entonces el ángulo ACO = α.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados.

2*α + ángulo AOC = 180^o

También: ángulo AOC + β = 180^o

Igualando las dos ecuaciones anteriores: ángulo AOC + β = 2*α + ángulo AOC  => β = 2*α