Foros Ciencias Galilei

Hola.

Tengo el siguiente ejercicio, que no se si es por cansancio o por mi gripe (ando enfermo    ) que no me parece del todo lógico:

Hallar las ecuaciones de las dos circunferencias de radio 4 tangentes a la recta y=4x en el punto (1,4).

Bueno, si son tangentes a dicha recta, la derivada de la ecuación general de una circunferencia debe ser igual a la pendiente (m=4)  y se debería reemplazar el punto que nos dan para hallar el centro de cada circunferencia.
Es esto cierto?, o estoy olvidanddo algo?. Agradecería a quien me aclarara esto.


Gracias!!!...

Evidentemente parece que el problema está mal redactado o le falta algo.

¿Y no será que el problema pide que se calcule la ecuación de la circunferencia tangente a la recta y con centro en (1,2)? Es un ejercicio muy simple, pero no se me ocurre otra interpretación con los datos que das.

Un saludo.

Ya quien me dejó el ejercicio aclaró que el punto es (1,4). Pero en mi procedimiento, al graficar, no me dan circulos tangentes a la recta. sino que ésta es secante a ambos. He hecho lo siguiente:

1- La derivada de (x-x₀)²+(y-y₀)²=16 tiene que ser igual a la pendiente de la recta tangente, m=4. De allí me sale que

-(x-x₀)/(y-y₀)=4

Ahora, reemplazo el punto (1,4) en la ecuación general de la circunferencia y en la ecuación anterior, para tener un sistema de ecuaciones que me permita hallar el centro de las circunferencias.

Pero al hacer esto no me sale.

Qué hice mal?...

Gracias!!!...

Estimado amigo:

Yo te sugeriría otro camino:

Si sabes que la circunferencia ha de ser tangente a la recta en (1,4) está claro que la recta que una los dos centros (porque habrá dos circunferencias tangentes) ha de ser perpendicular a la recta (una recta tangente a una circunferencia implica que es perpendicular al radio).

La recta perpendicular a y=4x podemos averiguarla fácilmente por la pendiente inversa (recuerda que m·m'=-1) por lo que la recta perpendicular será

y-4= -1/4(m-1)   de donde sacamos que y = -x/4 + 17/4

Ya sabemos que los centros pertenecerán a esa recta. Pero también tienen que responder a la ecuación genérica de una circunferencia de radio 4 y que pase por el punto (1,4) que será:

(1-x₀)² + (4-y₀)² = 16 (donde x₀ e y₀ han de ser puntos de la recta anterior, por lo que los llamaremos igual)

De esta manera tenemos un sistema de ecuaciones (la recta perpendicular y la circunferencia tal y como la hemos planteado que tenemos que resolver. (Perdona que no la desarrolle aquí pero sólo hay que aplicar los procedimientos habituales, pero es que no tengo tiempo).

El resultado de dicho sistema es que x=4,88 e y=3,03, por un lado, y por otro x=-2,88 e y=4,97. Estos son los dos centros de las circunferencias, por lo que una de ellas sería:

(x-4,88)² + (y-3,03)² = 16 (y la otra igual, sustituyendo los centros)

(Sé que debería haber dejado indicadas las raices en el resultado, pero en este caso no me queda más remedio. Perdón).

Hola,

Otro procedimiento sería calcular un vector de módulo 4 (radio de circunferencia) y que sea perpendicular a la recta tangente:

Un vector de 'r' es (1,4) y (-1,-4). Que sea perpendicular (producto escalar cero) sería:

(4, -1)  y  (-4, 1)

Nos falta hacer que tenga módulo 4, para lo cual calculamos su módulo, dividimos por él (unitario) y lo multiplicamos por 4:

módulo = √17

Los vectores de módulo 4 perpendicular a r son:

4·(4/√17, -1/√17)  y  4·(-4/√17, 1/√17)  =

(16/√17, -4/√17)  y  (-16/√17, 4/√17)

Luego los centros de ambas circunferencias son:

(1,4) + (16/√17, -4/√17) = (1 + 16/√17, 4 - 4/√17)

(1,4) + (-16/√17, 4/√17) =  (1 - 16/√17, 4 + 4/√17)

Tenemos el centro y el radio.

Hola Galilei,  muchas gracias por los procedimientos que pusiste.

Con el procedimiento que planteo llego a tus mismas soluciones, que evidentemente, son las que se buscan. Mi problema radicaba en la gráfica, que no me daban circulos tangentes sino secantes. Pero luego de revisar mucho mis cálculos y demás, me di cuenta que estaba poniendo mal en el programa graficador los centros de cada circulo, por eso no me daba... Qué verguenza!!...  

De igual forma, muchas gracias.

Éxitos!!!...