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Halla el valor que ha de tomar K para que las rectas  

                        x-1        y
r: 2x-3y=4  y  s: -----= --------
                         K         12



a) Sean paralelas
b) sean perpendiculares
c) formen un angulo de 45º

¿ Me podrian ayudar ?
Gracias

Hola, Moreloco


Para que dos rectas sean paralelas:
 Atendiendo a su vector director: debe ser proporcional. O bien, atendiendo a su pendiente, debe ser la misma.

  El vector director v_s = (k , 12)
  El vector de r: 2x-3y-4=0 es el v_r =  (3 , 2) (Estando en fª implícita, cambiamos de orden los coeficientes de x e y, y el signo de uno cualquiera de ellos).

Para imponer que sean proporcionales (paralelos), dividimos ordenadamente las componentes:

 k       12  
---- = ----- => k = 3*6 = 18
 3        2

Si lo hubiéramos hecho con las pendientes, m_r = 2/3  ,  m_s = 12/k .
                                  2      12
Deben ser iguales, luego  --- = ---- => 2k = 36 => k=18
                                  3       k

b) sean perpendiculares
Por vectores: su producto escalar debe ser nulo:
  v_r · v_s = 0  => (3 , 2) · (k , 12) = 0 => 3*k + 2*12 = 0 => 3k = -24 => k = -8

Por pendientes: dos rectas ⊥ tienen pendientes tales que m_r · m_s = -1 => 2/3 * 12/k = -1 =>

24/3k = -1 => 24 = -3k => k = -8

c) formen un angulo de 45º

Igualando las dos expresiones del producto escalar tenemos la fórmula:
             v_r · v_s
cos α = -----------   =>
            |v_r| · |v_s|

                    (3 , 2) · (k , 12)  
=> cos 45 = ---------------------- =>
                  √(9+4) * √(k²+144)

      √2             3k + 24  
=>  ---- = -------------------- => √26 * √(k²+144) = 6k + 48  es una ec irracional:
       2        √13 * √(k²+144)


(√26 * √(k²+144))² = (6k + 48)² =>  26 (k²+144) = 36 k² + 2304 + 576k =>

=> 10 k² + 576 k - 1440 = 0  Resolviendo esta, tenemos k = -60  o bien k = 12/5


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