Foros Ciencias Galilei

1. En una escuela de secunadaria hay 3 profesores de matemáticas. Cuando un alumno se matricula en el centro es igualmente probable que sea asignado a cualquier profesor de mates. LA probabilidad de aprobar con el profesor A es de 0,3; para aprobar con el profesor B es 0,28 y para aprobar con C es de 0,35.

A) Calcula la probabilidad de que un alumno matriculado en Mates apruebe.
B) Sabiendo que un estudiante aprobó, cual es la probabilidad de que sea con el profesor C.

2. Dos amigos comparten un apartamento. El primero prepara la comida el 40% de los días y el otro el resto. El porcentaje de veces que quema el primero la comida es del 5 % mientras que el segundo es del 8%.
a) Calcula la probabilidad de que un día la comida este quemada.
b) Si un día la comida esta quemada, calcula la probabilidad de que sea el primero el responsable.

-Hola, Tibesti:


Como es igualmente probable (o equiprobable) que te asignen un profesor u otro, la prob de que sea el profe A o el B o el C es 1/3.
(Mejor explicado: p+p+p=1 => 3p=1 => p=1/3 cada uno).

Sean P="Aprobar con un profesor"; P = "Suspender con un profesor"
Con cada profe hay una prob distinta de aprobar; pero la de suspender será 1 - la de aprobar, así: 1-0,3=0,7 ; 1-0,28=0,72 y 1-0,35=0,65 son las probabilidades respectivas de suspender con los profesores A, B y C.

El árbol de dependencias recoge toda la información:


Para la probabilidad de que un alumno apruebe, sigamos el árbol desde el origen hasta todas las P que haya. Valores que estén en prolongación, se multiplican; las distintas ramas se suman, es decir:

p(P) = 1/3*0,3 + 1/3*0,28 + 1/3*0,35 = 1/3*(0,3+0,28+0,35) = 0,31

Ahora bien, la "regla del árbol" es tan potente que oculta el verdadero principio que hay detrás, que es el teorema de la Probabilidad Total:

p(P) = p(P|A)*p(P) + p(P|B)*p(P) + p(P|C)*p(P) = 0,3*1/3 + 0,28*1/3 + 0,35*1/3 = 0,31







Se pide p(C|P), probabilidad de que le tocara el profe C, condicionado a que está aprobado.

No la da el árbol directamente, (sí nos da p(P|C) = 0,35)
Cualquier prob condicionada tiene como fórmula:
        
                  p(C ∩ P)       p(P|C)*p(C)        
    p(C|P) = ---------- = -------------- ,
                     p(P)               p(P)          

con denominador p(P) = p(P)*p(P|A) + p(P)*p(P|B) + p(P)*p(P|C) (que no es sino el valor calculado antes, 0,31. Y el numerador es simplemente la 3ª rama). Esta fórmula es el Teorema de Bayes.
                       
                       0,35*1/3
Luego: p(C|P) = ----------- = 0,3763
                          0,31

Si conseguimos recoger la información en un árbol, será más sencillo:

Sea Q el suceso "Que la comida un día está quemada".
Queremos todas las ramas que lleven a Q:

p(Q) = 0,4*0,05 + 0,6*0,08 = 0,068, pero de nuevo se trata del teorema de la Probabilidad Total:

p(Q) = p(Q|A)*p(A) + p(Q|B)*p(B) =  0,05*0,4 + 0,08*0,6 = 0,068; no es más que ir construyendo esa probabilidad.









p(A|Q) no la da el árbol (pero sí la p(Q|A)=0,05 ).

             p(A∩Q)      p(A)*p(Q|A)
p(A|Q) = -------- = -------------- , teorema de Bayes; sirve habitualmente para "darle la vuelta" a una prob condicionada.
               p(Q)              p(Q)

             0,4 * 0,05
p(A|Q) = ------------ = 0,2941
                 0,068


Nota: Es habitual, en problemas de probabilidad con varios apartados, que para un apartado se necesite un cálculo hallado previamente.
Venga .