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Se está celebrando una fiesta en una habitación que contiene 1800 piés cúbicos de aire libre de monóxido de carbono. En el instante t=0 varias personas comienzan a fumar. El humo, que contiene 6 % de monóxido de carbono, se introduce en la habitación a razón de 0.15 piés cúbicos por minuto, y la mezcla, removida por ventilación, sale a ese mismo ritmo por una ventana entreabierta. ¿Cuándo deberá abandonar una persona prudente esa fiesta, si el nivel de monóxido de carbono comienza a ser peligroso a partir de una concentración de 0.00018?

Hola,

Sea c(t) la concentración de CO (CO/volumen)

Entra a razón de:

0,06·0,15 = 0,009 pies³/min

Sale a razon de:

c(t)·0,15 pies³/min

Entonces:

dc(t)/dt = 0,06·0,15 - c(t)·0,15 = 0,15·(0,06 - c(t))

   dc(t)
----------- = 0,15·dt
0,06 - c(t)

-Ln [K·(0,06 - c(t))] = 0,15·t    [1*]   =>   Ln [K·(0,06 - c(t))] = -0,15·t

0,06 - c(t) = e^-0,15·t/K

c(t) = 0.06 - (1/K)·e^-0,15·t

Cuando t = 0   c(0) = 0      =>     1/K = 0,06       =>   K = 1/0,06

La concentración queda:

c(t) = 0.06·(1 - e^-0,15·t)

Solo falta sustituir c por 0,00018  y despejar t:

Se puede hacer esto desde aquí:

Ln [K·(0,06 - c(t))] = -0,15·t

    -Ln [K·(0,06 - c(t))]
t = --------------------       donde K = 1/0,06
             0,15

---

[1*] Cuando la solución de una integral tiene logaritmos es más cómodo hacer esto:

Ejemplo:

....  = Ln x + K' = Ln x + Ln K =          (donde K' = Ln K)

Ln (K·x)   que es lo que se ha hecho en la integral de [1*]

Mil Gracias...