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Dados los siguientes planos:

ax+y-z=0
x+ay-z=0
-x-y+az=0

1)Estudia segun los valores de "a" las posiciones relativas de los tres planos e
interpreta geométricamente cada caso.

2) Para a=3  y  a=-2 calcula donde se cortan los tres planos (si es que se cortan)

Gracias.
Alicia.

- Hola, Alicia:


Los tres planos forman un sistema homogéneo por tener términos independientes nulos. Todo sistema homogéneo tiene siempre solución (al menos, la compatible determinada x=y=z=0 (trivial por evidente), pues cualquier operación con esos valores da 0; es decir, los tres planos comparten al menos siempre el origen. Cuanto más podamos anticipar, mejor).

Sacamos las matrices: Sea A la matriz solo de coeficientes y A' la ampliada con los indeps:


- Estudiamos los rangos de A y A':

|A|= a³+1+1-a-a-a= a³-3a+2

Comprobamos cuándo puede valer cero: a³-3a+2=0
Por Ruffini encontramos que a = -2 es solución, y deja un polinomio cociente a²-2a+1=0, que por la ecuación de 2º grado arroja solución única a=1

Caso I: a≠-2 y a≠1 simultáneamente

Rg(A) = 3 = Rg(A') = nº incógnitas => Sistema compatible determinado, solución única. Por ser sist homogéneo, podemos indicar sin más cálculos que se trata de la solución trivial: x = y = z = 0. Los tres planos se cortan en el origen, punto (0 , 0, 0).


Caso II: a = -2

Reescribimos las matrices:


(la 3ª fila podría ser sin problema  (1  1  2  |0), ¿verdad?).
Podemos asegurar que el rango de A no será 3. Comprobamos si es 2 con este menor (superior izda de A):

|-2   1|
| 1  -2| = 3 ≠ 0 , luego Rg (A) = 2

A' dispone de al menos otro menor de orden 3, pero resulta ser una columna de ceros que anula cualquier determinante.

Por tanto, Rg(A) = 2 = Rg (A') < 3 = nº incógnitas => Sist Compatible indeterminado, ∞ soluciones Por haber  3 -2 = 1 grado de libertad, se trata de una recta. (Para confirmarlo, los tres planos no tienen vectores normales proporcionales, o sea, paralelos): Los tres panos se cortan en una recta

Ecuaciones de la recta común. Por Rouché-Frobenius:

   II-1º) Eliminamos las ecuaciones que no hayan participado en el menor que dio el rango (menor sup izdo):

-2x+y-z=0
x-2y-z=0
-x-y-2z=0

II-2º) Pasamos al término indep las incógnitas como parámetros; solo las que tampoco hayan participado en el det que dio el rango; hacemos entonces z = k  (k∈ℝ), y reescribimos las matrices:



II-3º) Aplicamos la regla de Cramer:

   |k   1|
   |k  -2|
x = ------ => x =-k
      3

Por sustitución (aunque preferiría seguir por Cramer)
y = k -2x => y = -k

Luego la recta común es, en ecs paramétricas:

x = -k
y = -k
z = k

que pasa por el  origen y lleva dirección (-1,-1,1).

Caso III: a = 1

III-1º) Reescribimos las matrices:



Comentario: Realmente, las tres ecuaciones son la misma, ¿verdad? ¿Qué va a pasar?

III-2º) Rangos. Necesariamente es Rg(A)<3, Rg(A')<3  
Comprobemos el rango 2:

Se aprecia que todos los menores de orden 2 van a ser nulos por igualdad o proporcionalidad de líneas, o por columnas de ceros.
Ni A ni A' tienen rango 2.

Para asegurar que tiene rango 1, basta tomar el elemento a11 (1ª fila, 1ª col); que es 1≠0; por tanto es:

Rg(A) = 1 = Rg(A') < 3 = nº incógnitas => Sistema Compatible indeterminado, ∞ soluciones.
Por ser 3-1 = 2, hay dos grados de indeterminación (o "de libertad"); habrá que tomar dos parámetros, con lo cual la solución es necesariamente un plano común. Los tres planos son coincidentes.

III-3º) Por el Tª de Rouché-Frobenius:
- Eliminamos las ecuaciones que no hayan participado en el menor que dio el rango; como este es el 1 superior izdo, eliminamos las ecuaciones 2ª y 3ª. Nos quedamos solo con la 1ª:  x+y-z=0

- Pasamos al término independiente como parámetros las incógnitas que tampoco hayan participado en el menor que dio el rango: Ese 1 corresponde solo a x, luego hacemos y = λ , z = μ y las llevamos al término indep  (λ, μ ∈ ℝ):

x = -λ + μ
y = λ
z = μ

Que son las ecuaciones paramétricas del plano coincidente que forman las tres ecuaciones, bajo a = 1.
En su fª implícita es, claro, Π≡ x+y-z=0.

¡Venga!

a = 3 se incluye en el caso I: a≠-2 y a≠1 simultáneamente, con lo que el sistema es SCD, con la solución única trivial: x=y=z=0; los tres planos se cortan en el punto (0, 0, 0), origen de coordenadas.