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Hola necesito saber
∫ x  5^-x²dx
Como se hacen este tipo de ejercicios?
o como se deriva una función como estas?
d/dx (5^x)

Hola.

Empezaré con la derivada.

Sea en general la función f(x)= a^bg(x) , en donde a y b son constantes y g(x) es una función de x.

Teniendo en cuenta las propiedades del logaritmo natutal y la función exponencial, podemos reescribir a f(x) como:

f(x)= a^bg(x)=exp(ln[a^bg(x)])=e^{bg(x) ln(a)}

Derivando como una exponencial normal, por medio de la Regla de la Cadena y teniendo en cuenta que ln(a) también es una constante, se tiene:

f '(x)= e^bg(x)ln(a)b ln(a) g'(x) = a^bg(x) b ln(a) g'(x)= b ln(a) g'(x)f(x).  (*)

Ahora, para f(x)=5^x, se tiene que a=5, b=1 y g(x)=x → g'(x)=1 , así que usando la ecuación (*), tenemos que:

d(5^x)/dx=ln(5) 5^x

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Veamos la integral.

∫x 5^-x²dx

Hacemos que U=-x² → dU=-2x dx → xdx=-dU/2 y esto lo reemplazamos en la integral, lo cual queda:


∫x 5^-x²dx= -1/2 ∫ 5^UdU= -1/2 ∫exp[ln(5^U)]dU=-1/2∫ e^Uln(5)dU

Integrando normalmente como una exponencial:

=-1/2[1/ln(5) e^{U ln(5)}+C]= -1/2[5^U/ln(5)+C]=-1/2[5^-x²/ln(5)+C]

Éxitos!!!...

Aaaa muchas gracias!!