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log 2 + log (x-3)= (1/2)·log (2x)

Las propiedades de los logaritmos son:

Si log_ax = n ⇔ x = aⁿ

log (a·b) = log a + log b

log (a/b) = log a - log b

log aⁿ = n·log a

log_aa = 1

log_ax = log_bx / log_ba ;(Cambio de base)

Una ecuación queda resuelta cuando se escribe en la forma:

log a = log b ⇒ a = b (por ser inyectiva la función logarítmo). Este es el objetivo.

log 2 + log (x-3)= (1/2)·log (2x)

log [2·(x-3)] = log (2x)^½ ⇒ 2·(x-3) = (2x)^½

2x - 6 = 2^½·x^½

2x - 2^½·x^½ - 6 = 0

Hacemos x^½ = t ⇒ x = t² (Elevando al cuadrado ambos términos). La ecuación nos queda:

2·t² - √2·t - 6 = 0

　　3·√2           
t = —— y t = - √2
　　　2

Deshacemos el cambio:

x = t² = (3·√2/2)² = 9/2
y
x = t² = (- √2)² = 2

La solución x=2 queda descartada porque al ser sustituida en la ecuación logarítmica inicial da argumento negativo en log (x-3) (no existe).

Se puede comprobar que x = 9/2 sí es solución de aquella.

tengo una duda, me he perdido en los pasos

2.t²-√2.t-6=0

como lo pasas al siguiente modo

t= 3.√2/2     y
t= -√2

2·t²- √2·t - 6 = 0

t = [-b±√(b²-4ac)] / (2a)

donde:

a=2
b=-√2
c=-6

Sustituyendo queda:

t = [√2±√(2+48)] / 4 = [√2 ±√50] / 4 = [√2±√(2·25)] / 4 = [√2±√2·√25] / 4 = [√2±5·√2] / 4

Las dos soluciones son (con el más y con el menos):

t =  [√2+5·√2] / 4 = 6·√2/4 = 3·√2/2
(un raíz de dos y cinco raices de dos son seis raices de dos)

y

t = [√2-5·√2] / 4 = -4·√2/4 = -√2
(un raíz de dos menos cinco raices de dos son menos cuatro raices de dos)